Vektorius ir kampas tarp vektorių

Apskaičiuokite kampą [tex]\alpha[/tex] tarp vektorių [tex]\vec{m}[/tex] ir [tex]\vec{n}[/tex][tex],[/tex]  kai [tex]|\vec{m|}= |\vec{n}|= 1[/tex][tex],[/tex]
[tex]|\vec{M}|= \frac{1}{2}tg\alpha[/tex]  ,  [tex]\alpha ∈\left ( 0;\frac{π}{2} \right )[/tex] ir [tex]\vec{M}= \vec{m}\cdot \vec{n}\cdot \vec{m}-\vec{n}[/tex]

Sprendimas : [tex]\vec{M}= |\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot \cos \alpha \cdot \vec{m}-\vec{n}= \cos \alpha \cdot \vec{m}-\vec{n}[/tex].  [tex]|\vec{M|}=[/tex][tex]\sqrt{\left ( \cos \alpha \cdot \vec{m}-\vec{n} \right )^{2}}=[/tex]
[tex]\sqrt{\left ( \cos ^{2}\alpha\cdot \vec{m}^{2}-2\cdot \vec{m}\cdot \vec{n}+\vec{n}^{2} \right )}=[/tex][tex]\sqrt{\left ( \cos ^{2}\alpha -2\cos \alpha \cdot |\vec{n}|\cdot |\vec{m}|\cdot \cos \alpha +1 \right )^{2}}[/tex][tex]=[/tex]
[tex]\sqrt{\left ( \cos ^{2}\alpha -2\cos ^{2}\alpha +1 \right )}=[/tex][tex]\sqrt{\sin ^{2}\alpha }= \sin \alpha[/tex][tex]= \frac{1}{2}tg\alpha[/tex]
[tex]\sin \alpha -\frac{1}{2}tg\alpha = 0[/tex].      [tex]\sin \alpha \left ( 1-\frac{1}{2\cos \alpha } \right )= 0[/tex][tex]\Rightarrow \sin \alpha = 0[/tex]  (netinka) arba  [tex]\cos \alpha = \frac{1}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\alpha = \frac{π}{3}[/tex]