vidutinis atstumas tarp taškų

Uždavinio sąlyga tokia:
a) rasti vidutinį atstumą tarp taško P, kuris atsitiktinai pasireinkamas ant pusapkritimio lanko, ir pagrindo y.
b) rasti vidutinį atstumą tarp taško Q, kuris atsitiktinai pasireinkamas ant pagrindo, ir pusapskritimio lanko y.
Apskritimo spindulys abiem atvejais lygus 1.



a) variante atstumą y pasižymėjau kaip y=sin(teta). Ir vidurkis tai suma visų reikšmių padalinta iš intervalo ilgio. Ir kadangi kampas teta kinta nuo 0 iki π/2, tai užrašiau taip:
[math]{<y>}=2/{\pi}int{0}{\pi/2}{sin{\theta}d{\theta}}=-2/{\pi}cos{\theta}=2/{\pi}[/math]

b) variante galvojau kad turi gautis toks pats atsakymas kaip ir a). Bet nesigavo ;]
Tai jeigu taškas pasirenkamas ant pagrindo, tai intervalas gaunasi nuo -1 iki 1, ir vidurkis užsirašytų taip:
[math]{<y>}=1/2int{-1}{1}{\sqrt{1-x^2}dx}[/math]
Tokio integralo suskaičiuot nemoku, bet šiaip rodos ans turėtų buti lygus pusei apskritimo ploto - π/2, ir padalinus iš intervalo ilgio gaunasi π/4.

Ir  mano klausiams būtų, jei kas galėtų atsakyt ;], ar skirtingi atsakakymai gaunasi dėl to kad aš klaidą kažkur padariau skaičiuodamas ar iš tiesų parenkant tašką ant pusapskritimio lanko vidutinis atstumas gaunasi kitoks nei tašką parenkant ant pagrindo?

Tavo atsakymai geri. Antrą integralą gali integruoti naudodamas keitinį x = -cos t:

[math]1/2int{-1}{1}{sqrt{1-x^2}dx}=1/2int{0}{pi}{sin{t}d({-}cos{t})}=1/2int{0}{pi}{sin^2{t}dt}=1/4int{0}{pi}(1-cos(2t))dt={pi/4}.[/math]

Šitas keitinys turi tam tikrų sąsajų ir su šio uždavinio sąlyga, gali pagalvot apie tai.

Stebiesi, kad gautas rezultatas prieštarauja tavo intuicijai. Tačiau iš tikro ir neatlikus skaičiavimų galima pastebėti, kad a) atsakymas bus mažesnis nei b). Pažiūrėkime, kuo skiriasi atsitiktinio taško x koordinatės pasisikirstymas šiais atvejais. Jei taškas imamas atsitiktinai ant pagrindo, tai bet kokia x koordinatė vienodai tikėtina. Jei taškas imamas atsistiktinai ant lanko, tai matome, kad lankas "labiau susigrūdęs" kraštuose, taigi kraštinės x vertės labiau tikėtinos nei vidurinės, o kraštuose y atstumas trumpesnis nei viduryje. Taigi ir vidurkis bus mažesnis.

Šitą samprotavimą gali patikrinti paskaičiavęs x koordinatės tikimybės svorio funkciją, kai taškas imamas ant lanko.

Paskutinė pastaba, kurią kažkada jau rašiau. Čia gana drąsiai naudojama sąvoka "atsitiktinai imamas". Atsitiktinai imti galima įvairiais būdais. Gerai, kad šiuo atveju vienintelis natūralus supratimas yra laikyti visus taškus "vienodai tikėtinais" ant pagrindo arba ant lanko atitinkamai (vienodai tikėtinas reiškia, kad tikimybės svorio funkcija yra konstanta). Tačiau dažnai neužtenka pasakyti "atsitiktinai imamas" ir būtent klaidingas "atsitikinio imimo" įsivaizdavimas lemia neteisingą intuiciją (pvz šiuo atveju tu turbūt mintyse palaikei, kad atsitiktinai paimtas taškas ant lanko reiškia "vienodai tikėtiną" x koordinatę, o ne vienodai tikėtiną kampą teta).


Beje įdomu pasidarė, kur studijuoji ir ar šitas uždavinys iš universiteto.

Dėkuj už atsakymą. Apie sutankėjimą ties lanko kraštais buvau pagalvojęs, tik kažkaip man tas variantas pasirodė netinkamas, bo taip maniau kad negali ten vienu atveju taškai ant x būti tankesni o kitu retesni, atseit skirtingi atsakymai reikštų kad vienu atveju integruojant yra praleidžiama dalis taškų... vienžo ;]
Tai tas keitimas irgi tarsi padaro jog x būtų parenkamas pagal kampą, tik kažkaip dar išlyginamas, kad kiekvienas x būtų vienodai tikėtinas? O tas tikimybės svoris tai a) atveju sin(t) o b)sin²(t)? Ar dar reik padalint iš x ir atseit sunormuot į vienetą ? ;]
Nestudijuoju aš niekur, ir uždavinys šitas iš G. Strang knygos "Calculus" ;]