Dif.lygtys

http://www.part.lt/perziura/8b1a4ccd13e938930b48a0518013f5f6467.jpg

gal kas galite padėti išspręsti?

Mano skype
rutele....

Dėl pirmo uždavinio, nežinau, kokių būtent dif. lygčių tipų prašo ir nežinau daugumos jų lietuviškų pavadinimų, bet galiu pamėginti:

1) xy"-y'=x^2  -  tiesinė nehomogeniška antro laipsnio (pirmo laipsnio, jei spręsime ją y', o ne y) lygtis;
2) (1+x)^2 dy + y(x-sqrt(1+x^3))dx = 0
    (1+x)^2 y' + (x-sqrt(1+x^3))y = 0  -  tiesinė homogeniška pirmo laipsnio lygtis;
3) sin x dy - x(y+2) dx = 0
    sin x y' - xy = 2x  -  tiesinė nehomogeniška pirmo laipsnio lygtis;
4) y'' - 2y(y')^2 = 0  -  netiesinė homogeniška antro laipsnio lygtis, jei būtų y'' - 2(y')^2/y = 0, būtų tiksli lygtis, dabar lyg ir ne;
5) x dy - x dx = y tg (x/y) dx
xy' + y tg(x/y) = x dx  - netiesinė nehomogeniška pirmo laipsnio lygtis;
6) y'' + y = cos(2x)  -  tiesinė nehomogeniška antro laipsnio lygtis
7) x dy + (x^2 + y) dx = 0
    d(1/3 x^2 + xy) = 0 - tiesinė nehomogeniška pirmo laipsnio tiksli lygtis.

Patarčiau atsargiai žiūrėti į mano sprendimą.

Antras uždavinys kiek užtikrintesnis. Visos lygtys tiesinės antrojo laipsnio, todėl turės po du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Reikia tik juos atspėti.

1. y" - 7y' + 12y = e^(2x). Randame papildomas funkcijas, t.y. tokias, kurios tenkina y" - 7y' +12y = 0. Ši lygtis tiesinė homogeniška su pastoviais koeficientais, todėl spėjame y = e^(kx) formos funkciją: k^2 e^(kx) - 7k e^(kx) + 12 e^(kx) = 0, taigi k^2 - 7k +12 = 0, (k-3)(k-4) = 0, k=3 arba 4. Radome dvi tiesiškai nepriklausomas papildomas funkcijas y = e^(3x) ir y = e^(4x). Taigi bendriausia papildoma funkcija yra y = Ae^(3x) + Be^(4x), kur A ir B pasirenkamos konstantos. Telieka atspėti vieną funkciją, kuri tenkina y" - 7y' + 12y = e^(2x). Spėjame y = m e^(2x): 4m e^(2x) - 14m e^(2x) + 12m e^(2x) = e^(2x), m = 1/2. Taigi funkcija y = 1/2 e^(2x) tenkina pradinę lygtį. Taigi bendriausia sprendinys yra y = 1/2 e^(2x) + A e^(3x) + B e^(4x).

2. y''-3y'+2y=5sin(3x). Vėl ieškome papildomos funkcijos (y"-3y'+2y=0) ir spėjame y = e^(kx). Gauname y=Ae^x + Be^(2x). Ieškome konkretaus sprendinio. Spėjame y = a cos(3x) + b sin(3x). Gauname -9a cos(3x) - 9b sin(3x) + 9a sin(3x) - 9b cos(3x) + 2a cos(3x) + 2b sin(3x) = 5 sin(3x), (-7a - 9b) cos(3x) + (-7b + 9a) sin(3x) = 5 sin(3x), -7a-9b=0 ir -7b+9a=5. Taigi lyg ir a=9/26, b=-7/26 ir bendriausias sprendinys yra y = 9/26 cos(3x) - 7/26 sin(3x) + A e^x + B e^(2x).

3. Pamėgink pati. Labai panašu į 2 lygtį.

4. y" - xy = x + 1. Nesugalvoju normalaus sprendimo, taigi spręsčiau begalinės sumos metodu. Tai yra pasirašyčiau y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... ir įsistatęs į lygtį gaunu SUMA{n>=0} n(n-1)a_n x^n - SUMA{n>=0} a_(n-1) x^(n+1) = x+1. Persitvarkau į SUMA{n>=0} (n+2)(n+1)a_(n+2) x^n - SUMA{n>=1}a_(n-1) x^n = x+1. a_0 ir a_1 bus pasirenkamos konstantos (du laisvumo laipsniai, nes lygtis tiesinė antro laipsnio). Tuomet n=0 duoda 2a_2 =1, t.y. a_2 = 1/2; n=1 duoda 6a_3 -a_0 = 1, t.y. a_3 = 1/6(a_0+1); n>1: (n+2)(n+1)a_(n+2) = a_(n-1). Taigi žinant šiuos koeficientus galima aprašyti visus koeficientus a_n ir galbūt atpažinti, kokia elementarioji funkcija tai yra. Šiaip spėčiau, kad čia yra gudresnis sprendimas, bet gal tam giedresnės galvos reikia.

Galima paklaust AncientMariner, iš kur taip moki? :) Studijuoji matematiką?

OMG .. Dėkui labai :)

Vitalijau, taip, studijuoju. Po trijų dienų baigsiu pirmą kursą :) Anksčiau kartais ir olimpiadose sudalyvaudavau. O tu kuo užsiimi?

Rūta, nėr už ką.