Įvadas į funkcijų ribų skaičiavimą

Praėjusioje pamokų serijoje išnagrinėjome, ką vadiname skaičių sekų riba ir kaip ji yra skaičiuojama. Dabar aptarsime kitą sąvoką, tai funkcijos riba.
Funkcijos ribas galima suskirstyti į dvi grupes:
[tex]\bullet[/tex] Funkcijos riba taške.
[tex]\bullet[/tex] Funkcijos riba, kai argumentas artėja į begalybę.

Plačiau panagrinėsime būtent pirmąją funkcijų ribų grupę.
Funkcijos riba taške yra apibrėžiama taip:

Skaičių [tex]A[/tex] vadinsime funkcijos [tex]f(x)[/tex] riba taške [tex]a[/tex], jei kiekvieną teigiamąjį skaičių [tex]\varepsilon[/tex] atitinka toks teigiamas skaičius [tex]\delta[/tex], jog su visais [tex]x∈D_f\backslash\{a\}[/tex] iš nelygybės [tex]|x-a|<\delta[/tex] išplaukia nelygybė [tex]|f(x)-A|<\varepsilon[/tex].

http://www.ematematikas.lt/upload/images/1507395348_2093.png
Paveikslėlyje pateiktas funkcijos [tex]f(x)[/tex] grafikas. Funkcija [tex]f(x)[/tex] taške [tex]x=a[/tex] gali būti ir neapibrėžta.
Bandykime remdamiesi funkcijos ribos taške apibrėžimu įsitikinti, jog šios funkcijos riba taške [tex]x=a[/tex] lygi [tex]A[/tex].
Laisvai pasirenkame taško A aplinką, t.y. laisvai pasirenkame teigiamą dydį [tex]\varepsilon[/tex]. Dabar turime rasti tokią [tex]\delta>0[/tex] reikšmę, jog su visomis [tex]x≠a[/tex] reikšmėmis priklausančioms intervalui [tex](a-\delta;a+\delta)[/tex], funkcijos [tex]f(x)[/tex] reikšmės priklausytų intervalui [tex](A-\varepsilon;A+\varepsilon)[/tex].
Paveikslėlyje matome, jog mums tai padaryti pavyko. Laisvai pasirinkę [tex]\varepsilon>0[/tex] apribojome žaliomis linijomis taško A aplinką. Tada suradome [tex]\delta>0[/tex], jog funkcijos argumento [tex]x≠a[/tex] reikšmes imant iš intervalo [tex](a-\delta;a+\delta)[/tex], visos funkcijos reikšmės (jos apribotos mėlynomis linijomis) patektų į nustatytą taško A aplinką.
Žinoma, tai turi galioti esant bet kokiai [tex]\varepsilon>0[/tex] reikšmei. Tačiau iš paveikslėlio akivaizdu, jog kad ir kokį [tex]\varepsilon[/tex] pasirinksime mums pavyks rasti sąlygas tenkinančią [tex]\delta[/tex] reikšmę.

Jei įvedame terminą argumento reikšmės artėja ir funkcijos reikšmės artėja, tada funkcijos ribos taške sąvoką galime apibrėžti taip:
Skaičių [tex]A[/tex] vadinsime funkcijos [tex]f(x)[/tex] riba taške [tex]a[/tex], jei [tex]x[/tex] artėjant prie skaičiaus [tex]a[/tex] (tiek iš kairės, tiek iš dešinės), [tex]f(x)[/tex] artės prie [tex]A[/tex].
Šis apibrėžimas dažniausiai pasitelkiamas tuomet, kai norima trumpai ir aiškiai paaiškinti (arba bent jau suteikti intuityvų supratimą apie) funkcijos ribos taške sąvoką.
Jei funkcijos [tex]f(x)[/tex] riba taške [tex]x=a[/tex] lygi [tex]A[/tex], tai rašome: [tex]\lim\limits_{x\to a}f(x)=A[/tex].
Kaip matome užrašas labai panašus į tą kurį naudojom sekų riboms užrašyti.
Pastebėkite vieną svarbų dalyką, jog kalbant apie funkcijos argumento artėjimą prie tam tikros reikšmės yra išskiriami du atvejai (artėjimas iš kairės ir dešinės). Akivaizdu, jog nagrinėjant funkciją grafiškai ir ieškant jos ribos taške prie to taško galime artėti arba iš kairės arba iš dešinės.
Kai ieškome funkcijos ribos taške, prie jo artėdami tik iš vienos pusės, tai sakome, jog ieškome vienupusės ribos. Kai prie reikšmės artėjame iš kairės, sakome, jog ieškome funkcijos ribos iš kairės, o kai artėjame iš dešinės - funkcijos ribos iš dešinės.

http://www.ematematikas.lt/upload/images/1507392545_2093.png
Štai aukščiau pateikto grafiko vienpusės ribos yra skirtingos. Funkcijos riba iš kairės yra lygi [tex]A[/tex], o iš dešinės - [tex]B[/tex].
Funkcija turi ribą taške tada ir tik tada, kai jos vienpusės ribos yra lygios.

Pavyzdžiui pirmame pavyzdyje pateikta funkcija turėjo ribą taške [tex]x=a[/tex], nes jos vienpusės ribos buvo lygios (t.y. abi lygios A). Tuo tarpu antra funkcija ribos taške [tex]x=a[/tex] neturi, nes jos vienpusės ribos yra skirtingos.

Toliau remdamiesi apibrėžimu įrodysime keletą nesunkių ribų:
[tex]\bullet[/tex] Remdamiesi apibrėžimu įrodykite, kad [tex]\lim\limits_{x\to\ 8}(2x+5)=21[/tex]
Pasiruošimas įrodymui:
Turime įrodyti, jog pasirinkę laisvai [tex]\varepsilon[/tex], rasime tokį [tex]\delta[/tex], jog su visais [tex]x∈R\backslash\{8\}[/tex], kuriems galioja lygybė [tex]|x-8|<\delta[/tex], taip pat galioja ir lygybė [tex]|(2x+5)-21|<\varepsilon[/tex]. Persitvarkome pastarąją lygybę:
[tex]|(2x+5)-21|<\varepsilon\iff |2x-16|<\varepsilon\iff 2|x-8|<\varepsilon\iff  |x-8|<\dfrac{\varepsilon}{2}[/tex]                  (1)
Taigi tarkime pasirinkome laisvai [tex]\varepsilon_0>0[/tex]. Iš nelygybės [tex]|x-8|<\dfrac{\varepsilon}{2}[/tex] matome, jog turime imti [tex]\delta=\dfrac{\varepsilon_0}{2}[/tex].
Įrodymas:
Su visais [tex]\varepsilon>0[/tex] randame [tex]\delta=\dfrac{\varepsilon}{2}[/tex]. Tuomet turime, kad su visais [tex]x[/tex], su kuriais galioja lygybė [tex]|x-8|<\delta=\dfrac{\varepsilon}{2}[/tex], galioja ir lygybė [tex]|(2x+5)-21|<\varepsilon[/tex]  (žiūrėti į Pasiruošimas įrodymui (1) formulę)
Taigi riba įrodyta!

[tex]\bullet[/tex] Remdamiesi apibrėžimu įrodykite, kad [tex]\lim\limits_{x\to\ 2}x^2=4[/tex]
Pasiruošimas įrodymui:
Įrodymas išliks teisingas, jei vietoje funkcijos [tex]f(x)=x^2[/tex], kai [tex]D_f∈R[/tex] nagrinėsime funkciją [tex]f_1(x)=x^2[/tex], kai [tex]D_{f_1}∈[0;+∞)[/tex].
Taigi turime įrodyti, jog pasirinkę laisvai [tex]\varepsilon[/tex], rasime tokį [tex]\delta[/tex], jog su visais [tex]x∈[0;2)∪(2;+\infty)[/tex], kuriems galioja lygybė [tex]|x-2|<\delta[/tex], taip pat galioja ir lygybė [tex]|x^2-4|<\varepsilon[/tex].
[tex]|x^2-4|<\varepsilon\iff |x^2-4|<\varepsilon\iff -\varepsilon<x^2-4<\varepsilon\iff 4-\varepsilon<x^2<4+\varepsilon[/tex]
Kadangi [tex]x∈[0;2)∪(2;+\infty)[/tex], tai:
[tex]4-\varepsilon<x^2<4+\varepsilon\iff \sqrt{4-\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon}[/tex]
Atėmę 2, gauname:
[tex]\sqrt{4-\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon}\iff \sqrt{4-\varepsilon}-2<x-2<\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex]
Galime įsirodyti, kad [tex]∀\varepsilon>0[/tex] (su kuriais šaknis turi prasmę) yra teisinga nelygybė [tex]\sqrt{4-\varepsilon}-2<2-\sqrt{4+\varepsilon}<\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex]. Tuomet:
$$\sqrt{4-\varepsilon}-2<x-2<\sqrt{4+\varepsilon}-2\iff 2-\sqrt{4+\varepsilon}<x-2<\sqrt{4+\varepsilon}-2\iff\\ |x-2|<\sqrt{4+\varepsilon}-2$$ Apibendrinus užrašome, kai [tex]x>0[/tex]:
[tex]|x^2-4|<\varepsilon\iff |x-2|<\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex]        (2)
Taigi tarkime pasirinkome laisvai [tex]\varepsilon_0>0[/tex]. Iš nelygybės [tex]|x-2|<\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex] matome, jog turime imti [tex]\delta=\sqrt{4+\varepsilon_0}-2[/tex].
Įrodymas:
Su visais [tex]\varepsilon>0[/tex] randame [tex]\delta=\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex]. Tuomet turime, kad su visais [tex]x>0,\space x≠2[/tex], su kuriais galioja lygybė [tex]|x-2|<\delta=\sqrt{4+\varepsilon}-2[/tex], galioja ir lygybė [tex]|x^2-4|<\varepsilon[/tex]  (žiūrėti į Pasiruošimas įrodymui (2) formulę)
Taigi riba įrodyta!

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-10-30

2

peržiūros 281

atsakymai 1

aktyvumas 2 mėn

 

Dėl šitų dalykėlių šis forumas tampa vienintelis ir geriausias matematikos forumas, skirtas savarankiškam mokymuisi, konsultacijoms.

Šaunuolis, Tomai.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!