eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Matematikos pamokėlė: Kombinatorika (2)

Kategorija: Tikimybių teorija

1254

naudinga 

Jau nagrinėjome gretinius, kėlinius bei gretinius be pasikartojimų.
http://www.ematematikas.lt/forumas/t10527-matematikos-pamokele-kombinatorika-1.html
4.  GRETINIAI SU PASIKARTOJIMAIS

Tarkime, jog dėžėj yra 7 skirtingų spalvų rutuliukai a, b, c, d, e, f, g. i Imame po vieną, atgal negrąžindami, tris rutuliukus, ir dėliojame juos vieną po kito traukimo tvarka.
Tuomet gauname mūsų jau nagrinėtus GRETINIUS ( iš 7 po 3) BE PASIKARTOJIMŲ:
(a, b, c), (a, c, b), ( a, b, d),...., (e, f, g), ( g, f, e).
Jau žinome, jog tokių gretinių ( sutvarkytųjų rinkinių) be pasikartojimų ( iš 7 po 3) skaičius yra
A( 7, 3) = 7*6*5 = 210, arba A( 7, 3) = 7! / 4!.
Bendru atveju A(n, m) = n! / ( n - m)!.
O dabar tarkime, jog iš tos pačios dėžės su 7 skirtingų spalvų rutuliais imame rutuliuką, pažymim spalvą, grąžiname jį į dėžę, po to vėl traukiame, greta pirmos spalvos pažymim antrąją, ir taip tris kartus.
Gauname GRETINIUS SU PASIKARTOJIMAIS:
(a, a, a), (a, a, b), (a, b, c),...,(a, c, c),....,( e, f, g),....,(g, g, g).
Gretinių su pasikartojimais ( iš 7 po 3) skaičius vėl gali būti gautas, remiantis paprasčiausiąja "kombinatorine daugyba". Žymėsime:
B(7, 3) = 7*7*7 = 7^3 = 343.
Bendru atveju B(n, m) = n^m.
Pavyzdys:  Slaptoje spynoje šeši diskai. Kiekviename yra 10 skaitmenų- nuo 0 iki 9. Spyną atrakina tam tikra, vienintelė, skaitmenų kombinacija. Kokia tikimybė, kad pirmas atsitiktinis bandymas surinkt šešiaženklį kodą atrakins slaptą spyną?
Sprendimas: Tikimybė P(A) skaičiuojama pagal formulę:
P(A) = m(A) / n,
kur n- visų ( vienodai tikėtinų) bandymo baigčių skaičius ( šiuo atveju- visų galimų šešiaženklių kombinacijų skaičius), m(A) - įvykiui A ( šiuo atveju įvykiui "spyna bus atrakinta") palankių baigčių skaičius.
Aišku, jog m(A) =1, n=B(10, 6) = 10^6 = 1000000.
Todėl tikimybė lygi 1 / 1000000.
Pastaba: Jei, pavyzdžiui, būtų žinoma, jog slapto šešiaženklio kodo VISI SKAITMENYS SKIRTINGI, tai n=A(10, 6) = 10! /4! =151200, o atitinkama tikimybė būtų 1 / 151200.
Pavyzdys:  Dėžėj yra N rutulių, sunumeruotų skaičiais nuo 1 iki N.  Iš šios dėžės imame N kartų po rutulį, kiekvieną kartą grąžindami rutulį atgal. Kokia tikimybė, kad jokių dviejų ištrauktų rutulių numeriai nesutaps?
Sprendimas: Šiuo atveju visų bandymo baigčių skaičius
n=B(N,N) = N^N,
o įvykiui palankių baigčių skaičius A(N, N) =N!.
Ieškoma tikimybė lygi  N! / N^N.
5  KĖLINIAI  SU  PASIKARTOJIMAIS

Tarkime, jog dėžėj yra trys "A" spalvos rutuliai, keturi "B" spalvos rutuliai, ir penki "C" spalvos rutuliai. Iš dėžės, BE GRĄŽINIMO, imame po vieną rutulį , KOL IŠIMSIME VISUS, ir dedame juos vieną šalia kito traukimo tvarka.
Taip gauname konkretų KĖLINĮ SU PASIKARTOJIMAIS,
Galimi variantai:
(A, A, A, B, B, B, B, C, C, C, C, C),
(A, B, B, C, A, B, C, C, A, B, C, C),
ir t.t.
Tokių KĖLINIŲ SU PASIKARTOJIMAIS skaičių žymėsime
K(3, 4, 5).  Kam jis lygus?
Jei visi rutuliai būtų skirtingi, tai kombinacijų būtų K(12) =12!.
Tačiau dabar yra 3 vienodi "A" spalvos rutuliai, jų keitimas vietomis (3! būdais) nekeis kombinacijos. Kombinacijų skaičius mažėja 3! kartų.
Dar yra keturi vienodi "B" spalvos rutuliai, kuriuos galima "be pasekmių" perstatinėti 4! būdais, ir penki "C" spalvos rutuliai ( 5! "nematomi perstatymai").
Todėl
K(3, 4, 5) = 12! / ( 3! 4! 5!).
Bendruoju atveju kėlinių su pasikartojimais ( kai kiekviename kėlinyje elementas A kartojasi a kartų, elementas B kartojasi b kartų, ir t.t) skaičius:
K(a, b, c,...) = n! / (a! b! c!...),  n= a +b +c +...
Ankstesnėje temoje ( pirmoj daly) sprendėme uždavinį
Yra 12 specialistų. Keliais būdais galima sudaryti brigadą, kurioje būtų vadovas, trys pavaduotojai, ir penki nariai?
Sprendėme derinių pagalba. Tačiau šis uždavinys gali būti išspręstas, ir naudojant kėlinius su pasikartojimais.
Taigi, yra 12 specialistų. Vienas bus brigados vadovas, trys taps pavaduotojais, penki taps "eiliniais" nariais, o dar trys specialistai į brigadą nepateks.
Ieškomas skaičius:
K( 1, 3, 5, 3) =12! / (1! 3! 5! 3!) = 110880.
Beje, kur kas trumpesnis sprendimas!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!