Uždavinys su stygomis, kai reikia rasti spindulį

Apskritimo susikertančios stygos AB ir CD yra statmenos. Raskite apskritimo spindulio ilgį, jei , 6=AD; CB=8.

Gal turite idėjų ar planą, kaip išspręsti šį uždavinį?

Vaizduoju brėžinį be apskritimo, tačiau suprantame, jog apskritimas eina per taškus A, B, C, D. Tokiu atveju kampai [tex]∠ACD[/tex] ir [tex]∠ABD[/tex] yra įbrėžtiniai, kurie remiasi į tą patį lanką, taigi jie lygūs. Tas pats yra ir su kampais [tex]∠CAB[/tex] ir [tex]∠CDB[/tex]. Jei [tex]∠ACD=∠ABD=\alpha[/tex], tada: [tex]∠CAB=∠CDB=90^\circ-\alpha[/tex], nes trikampiai AED ir CEB statieji.
Nagrinėkime trikampius ACD ir ACB.  Pritaikykime jiems sinusų teorema, kuri sako, kad:
[tex]\dfrac{AD}{\sin\alpha}=\dfrac{CB}{\sin(90^\circ-\alpha)}=2R[/tex], kur [tex]R-[/tex] apskritimo, einančio per taškus A, B, C, D spindulio ilgis.
Susistatę duomenis, gauname:
[tex]\dfrac{6}{\sin\alpha}=\dfrac{8}{\sin(90^\circ-\alpha)}=2R[/tex]
Toliau:
[tex]\dfrac{6}{\sin\alpha}=\dfrac{8}{\sin(90^\circ-\alpha)}\implies \dfrac{6}{\sin\alpha}=\dfrac{8}{\cos\alpha}\implies \tan\alpha=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}[/tex]
Kadangi [tex]1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}[/tex], tai:
[tex]\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}\implies \cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}[/tex]
Kadangi [tex]\dfrac{8}{\cos\alpha}=2R[/tex], tai [tex]4R^2=\dfrac{64}{\cos^2\alpha}=\dfrac{64}{\frac{16}{25}}=\dfrac{64\cdot 25}{16}\implies 2R=\dfrac{8\cdot 5}{4}\implies R=5[/tex]

Prie to pačio graži formulytė gaunasi: Jei pažymime [tex]AD=a[/tex] r [tex]CB=b[/tex], tai:
[tex]R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}[/tex]