y''+15y= 0 kaip spręsti tokią dif. lygtį?
gavau atsakymą c1ex+c2e15x
Ar jis teisingas? pabrėžiu iksai yra laipsnyje.
Ne. Atsakymas:
[tex]y=C_1cos(\sqrt{15}x)+C_2sin(\sqrt{15}x)[/tex]
Sudarome charakteringąją lygtį. Ją išsprendę šiuo atveju gauname menamas šaknis.
Kai [tex]\lambda=\alpha±\beta i[/tex], tai diferencialinės lygties sprendinys: [tex]y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)[/tex]
Na nežinau ar tokio komplikuoto sprendimo reikia. Čia panašu į kvadratinės lygties sprendimą netaikant jos sprendinio radimo formulės, o atliekant pertvarkymus, kurie reikalingi tos formulės įrodymui.
Siūlyčiau tokį sprendimą:
Kai turime antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį su pastoviaisiais koeficientais:
[tex]a_0y''+a_1y'+a_2y=0[/tex]
Sudarome charakteringąją lygtį:
[tex]a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0[/tex]
Ją išsprendę galime gauti tris atvejus:
1) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra realiosios ir skirtingos, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}[/tex]
2) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra realiosios ir lygios, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]\lambda_1=\lambda_2=\lambda[/tex]
[tex]y=e^{\lambda x}(C_1+C_2x)[/tex]
3) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra menamos, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]\lambda_1=\alpha+\beta i[/tex] ir [tex]\lambda_2=\alpha-\beta i[/tex]
[tex]y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)[/tex]