Diferencialinės lygtys

Padekite isspresti sia lygti:

(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy = 0

Rasime tokią funkciją f(x,y), kad df = (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy. Pagal grandinės taisyklę,

df = (df / dx) * dx + (df / dy) * dy,

kur df / dx ir df / dy yra dalinės išvestinės. Taigi ieškosime tokios f, kad

df / dx = 4x - 3y
df / dy = 2y - 3x

f(x, y) = 2x² - 3xy + a(y)
f(x, y) = y² - 3xy + b(x),

kur a(y) priklauso nuo y, bet ne nuo x, o b(x) priklauso nuo x, bet ne nuo y. Taigi

f(x, y) = 2x² - 3xy + y² + c,

kur c yra konstanta. Tačiau c visiškai nesvarbi, todėl galime rinktis c = 0. Taigi

df = 0
f = k
2x² - 3xy + y² = k,

kur k yra konstanta. Tai ir yra lygties sprendiniai. Jei nori, gali išsireikšti y per x.

Reikia ir man pagalbos... :)
y''-y'+2y=cos(3x) + x, pradinės sąlygos: y(0)=1, y'(0)=0.
Tas +x daugiausiai neaiškumų kelia...

Gal kas nukreiptų tinkama linkme:
(x+y)y'=y ir raskite jos bendrąjį sprendinį

Pakaks to jei pasakysiu, jog tai homogeninė lygtis?

Padėjai tikrai, kiek žinau reikia dabar įsivesti keitinį? Ar aš klystu?

Taip reikia keitinio: [tex]y=xz[/tex], čia [tex]z=z(x)[/tex]

tai y' yra z'x+z Ar taip skaičiuoju? Man tai yra naujas dalykas, todėl dar sunkiai orientuojuos.

Taip. Tada gauni lygtį su [tex]x[/tex] ir [tex]z[/tex], kuri sprendžiama atskiriant kintamuosius: vietoje [tex]z'[/tex] rašome [tex]\dfrac{dz}{dx}[/tex]

Ačiū labai už pagalbą, kažką pavyko išsispręsti :)