Kaip surasti funkcijos asimptotes (x ir y)?

Sveiki, iškilo toks klausimas: kaip surasti asimptotes? Nelabai suprantu kaip tai reikia užrašyti. Pas save užrašuose turiu, kad ieškant y asimptotės imama riba kai x artėja į +-begalybę, o ieškant X asimptotės imama riba kai x artėja į 1-0 arba 1+0. Gal galėtumėte plačiau paaiškinti kaip nors? Ačiū.


Funkcija: y=1/1+[tex]x^{2}[/tex]

Yra trijų rūšių asimptotės: vertikaliosios, horizontaliosios ir pasvirusios.
1. Vertikaliosios asimptotės
Vertikalioji funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] asimptotė, kurios lygtis [tex]x=a[/tex] egzistuoja tada ir tik tada, kai bent viena iš vienupusių ribų taške [tex]x=a[/tex] yra begalinė. T.y. $$\lim\limits_{x\to a-0}f(x)=±\infty \space\textrm{arba}\space \lim\limits_{x\to a+0}f(x)=±\infty$$
2. Horizontaliosios asimptotės
Horizontalioji funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] asimptotė, kurios lygtis [tex]y=b[/tex] egzistuoja tada ir tik tada, kai teisinga bent viena iš žemiau užrašytų lygybių. $$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b \space\textrm{arba}\space \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b$$
3. Pasvirosios asimptotės
Pasviroji funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] asimptotė, kurios lygtis [tex]y=kx+b[/tex] egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja šios baigtinės ribos:$$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=k \space\textrm{ir}\space \lim\limits_{x\to -\infty}\left(f(x)-kx\right)=b\\\textrm{arba}\\\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=k \space\textrm{ir}\space \lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)-kx\right)=b$$

Dėl vertikaliosios asimptotės klausimas: kaip apsibrėžti kas yra tas "a"? Iš kur gaunamas tas "a"? (Per paskaitas bėgom viskas būna praeinama ir neišaiškina normaliai).

Tas a yra tam tikra realioji [tex]x[/tex] reikšmė. Paprastai ji imama tokia, jog kai funkcijos formulė užrašyta trumpmena, jos vardiklis su šia reikšme taptų lygus 0. Pavyzdžiui, jei [tex]f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}[/tex], tai tikrintume taškus [tex]x=-2[/tex] ir [tex]x=2[/tex].

Tai mano atveju vertikaliosios asimptotės nėra? Yra tik horizontalioji, kuri yra y=0?

Taip.

Šiaip aplamai kalbant apie taškus, kuriuos reikia tikrinti, norint nustatyti vertikaliųjų asimptočių egzistavimą - jie yra ten, kur funkcija turi trūkio taškus.

Tomai, vertikaliųjų, o ne horizontaliųjų.

Dėkui, Sokolovai. Pataisiau.

O kaip dėl šios funkcijos vingio taškų? Neišeina man jų gauti teisingų (atsakyme nurodyta +-1/√3 ir 3/4).

Tai visų pirmiausia kai tyriau funkcijos monotoniškumą, radau, kad kritinis taškas yra 0 ir čia yra minimumas. Na ir ieškant vingio taškų, ieškojau antros išvestinės (pirmoji gavosi: 2x/(1+[tex]x^{2}[/tex])[tex]^{2}[/tex] ).