Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas

Surašysiu savo požiūrį į konvergavimo uždavinių sprendimą. Žinau, kad yra keletas konvergavimo požymių (d'Alambero, Koši, santykio...), kurie gali greitai išspręsti kai kuriuos uždavinius, jei taikomi teisingai. Tačiau nors ir savo laiku mokėjau tuos požymius ir nuo tada teko tikrinti daug eilučių konvergavimą, jų nebepamenu. Tiesiog atsiminti tuos požymius yra sunkiau nei esminius principus. Paprastai gavęs konvergavimo uždavinį išsprendžiu jį sau elementariais būdais, o konvergavimo požymius taikau nebent aprašydamas sprendimą (nes su jais sprendimas trumpesnis). Žinau, kad panašiai elgiasi ir daugiau matematikų.

Yra kelios esminės taisyklės.

1. Tarkime, kad [tex]a_1,\;a_2,\;\ldots[/tex] yra kompleksiniai skaičiai (jei nepatinka kompleksiniai skaičiai, tiesiog laikyk, kad tai realieji skaičiai - viskas galios lygiai taip pat). Jei eilutė [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja absoliučiai (tai reiškia, kad [tex]\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|[/tex] konverguoja), tai [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja.

Dvi pastabos. Net jei [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja absoliučiai (taigi abi eilutės [tex]A = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|[/tex] ir [tex]B = \sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja), gali būti, kad [tex]A \neq B[/tex]! Taip pat gali būti, kad [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja, bet nekonverguoja atvirkščiai.

Trumpai šią taisyklę galima užrašyti taip: eilutė konverguoja absoliučiai [tex]\Rightarrow[/tex] eilutė konverguoja.

Dar pastaba. Praktikoje retai būna, kad eilutė konverguotų, bet nekonverguotų absoliučiai. O absoliutų konvergavimą beveik visada lengviau patikrinti nei paprastą konvergavimą. Todėl visuomet pirmas žingsnis norint išsiaiškinti ar eilutė konverguoja yra patikrinti ar ji konverguoja absoliučiai.

2. Vėl tarkime, kad [tex]a_1,\;a_2,\;\ldots[/tex] yra kompleksiniai skaičiai (arba realieji skaičiai). Jei eilutė [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/tex] konverguoja, tai privalo galioti [tex]|a_n| \to 0[/tex], kai [tex]n \to \infty[/tex].

Praktikoje labai dažnai eilutės nekonvergavimą galima įrodyti pamačius, kad [tex]|a_n| \not \to 0[/tex], kai [tex]n \to \infty[/tex]. Todėl patikrinti ar [tex]|a_n| \to 0[/tex] turėtų būti antras žingsnis.

3. Šį kartą tarkime, kad [tex]a_1,\;a_2,\;\ldots[/tex] yra neneigiami realieji skaičiai (dabar jau kiekvienas žodis svarbus). Eilutė [tex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/tex] konverguoja, jei ir tik jei ji yra aprėžta iš viršaus (kitaip sakant, yra toks realus skaičius [tex]C[/tex], kad su visais natūriniais [tex]N[/tex] galioja nelygybė [tex]\sum_{n=1}^{N}a_n \le C[/tex]).

Ši savybė labai naudinga tikrinant eilutės absoliutų konvergavimą: jei [tex]b_1,\;b_2,\;\ldots[/tex] yra kompleksiniai skaičiai (arba realieji skaičiai), tai [tex]|b_1|,\;|b_2|,\;\ldots[/tex] yra būtent neneigiami realieji skaičiai.

3*. Ši taisyklė bus tik pusė taisyklės nr. 3, tačiau praktikoje ji labai naudinga.

Tarkime, kad [tex]a_1,\;a_2,\;\ldots[/tex] ir [tex]b_1,\;b_2,\;\ldots[/tex] yra neneigiami realieji skaičiai. Taip pat tarkime, kad su visais natūriniais skaičiais [tex]n[/tex] galioja [tex]a_n \le b_n[/tex]. Jei žinome, kad[tex]\sum_{n=1}^{\infty} b_n[/tex] konverguoja, tai tikrai konverguoja ir [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex].

4. Itin svarbi idėja, ją reikia suprasti. Tegul [tex]a_1,\;a_2,\;\ldots[/tex] yra kompleksiniai skaičiai (arba realieji skaičiai). Tuomet eilutė [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja, jei ir tik jei eilutė [tex]\sum_{n=1\,000\,000}^{\infty} a_n[/tex] konverguoja. Tiesą sakant, kad ir kokį natūrinį [tex]N[/tex] pasirinktume, eilutės[tex]\sum_{n=N}^{\infty} a_n[/tex] konvergavimas bus tas pats (t.y. arba visos tokios eilutės konverguoja, arba visos nekonverguoja).

Taigi "nėra svarbu, kaip eilutė elgiasi pirmuose [tex]N[/tex] narių, kad ir koks [tex]N < \infty[/tex] bebūtų".




Naudodami šias taisykles ir pažindami keletą "bazinių" (svarbių) eilučių, galime išspręsti daug konvergavimo uždavinių. Tos bazinės eilutės yra tokios:

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} x^n[/tex] konverguoja absoliučiai, jei [tex]|x| < 1[/tex]. Jei [tex]|x| \ge 1[/tex], ta eilutė nekonverguoja.

Tegul [tex]\alpha[/tex] yra teigiamas realusis skaičius. [tex]\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\alpha}[/tex] konverguoja, jei [tex]\alpha > 1[/tex], ir nekonverguoja, jei [tex]\alpha \le 1[/tex]. Taigi eilutė [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/tex] nekonverguoja, o eilutės [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/tex], [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}[/tex], [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.0001}}[/tex] konverguoja.

O kaip del sio pavyzdzio. Ar teisingai taikau Kosi pozymi?

TechnicsAciu uz atsakyma. Gal dar galetumet parasyti paprastesnes eilutes sprendima?

[tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{(1+4\cdot n)\cdot 5^{n}}\cdot x^{n}[/tex]

Kazkodel as gaunu [tex](-\frac{2}{5};\frac{2}{5})[/tex], o knygoje atsakymas [tex](-\frac{5}{2};\frac{5}{2})[/tex].

Gal dar galetum parasyti kaip tikrini intervalo galus? Noriu pasitikrinti, nes ne visad teisingai apskaiciuoju. :)

Nagrinėkime pirmą uždavinį:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^4 + 4n + 10)(x + 10)^{n-1}}{5^{n-1} n^5} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4 + 4n + 10}{n^5} c^{n-1}[/tex]          (*),

kur [tex]c = \frac{x+10}{5}.[/tex]

Eilutė (*) yra labai panaši į eilutę [tex]\sum_{n=1}^{\infty} c^n[/tex], todėl aš tikiuosi parodyti, kad jei [tex]|c| > 1[/tex], (*) nekonverguoja, o jei [tex]|c| < 1[/tex], (*) konverguoja. Sunkiau pasakyti apie atvejį [tex]|c| = 1[/tex].

Tarkime, kad [tex]|c| > 1[/tex]. Noriu parodyti, kad (*) nekonverguoja, todėl naudoju taisyklę 2. [tex]|\frac{n^4 + 4n + 10}{n^5}c^{n-1}| \ge \frac{1}{n}|c|^{n-1} \to \infty[/tex], kai [tex]n \to \infty[/tex] (nes [tex]|c| > 1[/tex]), todėl (*) nekonverguoja.

Kai |c| < 1, naudosime taisyklę nr. 1 (t.y. parodysime, kad (*) konverguoja absoliučiai). Panaudosime ir taisyklę 3*.

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{n^4 + 4n + 10}{n^5} c^{n-1}| \le \sum_{n=1}^{\infty} |c|^{n-1}.[/tex]

Eilutė dešinėje konverguoja (nes [tex]|c| < 1[/tex]), todėl pagal taisyklę 3*, eilutę kairėje irgi konverguoja. Taigi (*) konverguoja absoliučiai.

Lieka patikrinti, kas būna, kai [tex]|c| = 1,[/tex] t.y. [tex]c = \pm 1.[/tex].

c = 1. (*) tampa [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 + 4n + 10}{n^5} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{4}{n^4} + \frac{10}{n^5}\right).[/tex]

Eilutės [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^4}[/tex] ir [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{n^5}[/tex] konverguoja, todėl atitinkami dėmenys visos (*) konvergavimui įtakos neturi. Lieka pažiūrėti ar [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/tex] konverguoja - žinome, kad ne. Taigi (*) nekonverguoja.

c = -1. (*) tampa [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{(-1)^{n-1}4}{n^4} + \frac{(-1)^{n-1}10}{n^5} \right).[/tex]

Eilutės [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}4}{n^4}[/tex] ir [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}10}{n^5}[/tex] konverguoja absoliučiai, todėl konverguoja (savybė nr. 1), todėl atitinkami dėmenys (*) konvergavimui įtakos neturės. Lieka patikrinti, ar

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots[/tex] konverguoja. Deja, nei savybė nr. 1, nei savybė nr. 2 atsakymo neduoda. Tenka suktis gudriau.

Su visais natūriniais [tex]n[/tex] galioja tapatybė [tex]\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}.[/tex] Taigi galime pertvarkyti [tex]1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots[/tex] į

[tex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots \le \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots \le \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots[/tex]. Eilutė dešinėje konverguoja, todėl pagal savybę 3*, eilutė kairėje irgi konverguoja. Taigi ir (*) konverguoja.


Apibendriname:

(*) konverguoja, jei [tex]-1 \le c < 1 \Leftrightarrow -15 \le x < -5[/tex]. Kitais atvejais (*) nekonverguoja.

Ar čia taip antras? :D
[tex]\sum \frac{2^{n}}{(1+4n)5^{n}}\cdot \left ( \frac{5}{2} \right )^{n}= \sum \frac{1}{1+4n}[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{1+4n}\leq \frac{1}{4}\sum\frac{1}{n} [/tex]
diverguoja

su - tas pats.

TechnicsGal dar galetum parasyti kaip tikrini intervalo galus? Noriu pasitikrinti, nes ne visad teisingai apskaiciuoju. :)

MirtiseAr čia taip antras? :D
[tex]\sum \frac{2^{n}}{(1+4n)5^{n}}\cdot \left ( \frac{5}{2} \right )^{n}= \sum \frac{1}{1+4n}[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{1+4n}\leq \frac{1}{4}\sum\frac{1}{n} [/tex]
diverguoja

su - tas pats.

Aciu uz atsakymus. :)