eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas


Surasti laipsnines eilutes konvergavimo intervala.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^{4}+4\cdot n+10)\cdot (x+10)^{n-1}}{5^{n-1}\cdot n^{5}}[/tex]

Gal kas galetu padeti ispresti sia problema?

pakeista prieš 11 m

Gal gali parodyti, kaip mėginai daryti, su kokius panašius uždavinius esi matęs ir t.t.? Taip būtų naudingiau ir įdomiau, nei tiesiog čia išpilti sprendimą.

Man tai įdomu, ką daryti kai pakelta n-1, o ne tiesiog n-tuoju tas x+10.  Ar čia nėr skirtumo?
o poto skaičiuoji spindulį per ribas ir pan.

MirtiseMan tai įdomu, ką daryti kai pakelta n-1, o ne tiesiog n-tuoju tas x+10.  Ar čia nėr skirtumo?
o poto skaičiuoji spindulį per ribas ir pan.


Taip, eilutės konvergavimui nėra svarbu, ar konstanta keliama laipsniu n ar laipsniu n-1.

Tarkime, kad yra eilutės [tex]f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n[/tex] ir [tex]g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n+1},[/tex] kur [tex]a_n[/tex] yra fiksuoti koeficientai. Tuomet [tex]g(x) = x\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = xf(x),[/tex] todėl [tex]g(x)[/tex] konverguoja, jei ir tik jei [tex]f(x)[/tex] konverguoja.

Konkrečiai šiuo atveju turime

[tex]f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4 + 4n + 10}{n^5} \cdot \left( \frac{x+10}{5} \right)^{n-1} = \frac{5}{x+10} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4 + 4n + 10}{n^5} \cdot \left( \frac{x+10}{5} \right)^{n}[/tex]

ir eilutės konvergavimas nepriklauso nuo daugiklio 5/(x+10) buvimo ar nebuvimo, todėl galime apie jį pamirštį. Taip pakeičiame laipsnio rodiklį iš n-1 į n.

Žinoma, šios mintys formaliai nėra tikslios (pvz., reiktų patikrint, kad x+10 ≠ 0, o užrašas g(x) = xf(x), griežtai žiūrint, neturi prasmės), tačiau galima viską lengvai sustatyti į vietas (jei x + 10 = 0, tai vis vien žinome, kad f(x) = 0 konverguoja; g(x) = xf(x) galime pakeisti į g_k(x) = xf_k(x), kur f_k ir g_k yra atitinkamos dalinės sumos nuo 0 iki k ir pan.).

Aciu uz atsakyma. Gal dar galetumet parasyti paprastesnes eilutes sprendima?

[tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{(1+4\cdot n)\cdot 5^{n}}\cdot x^{n}[/tex]

Kazkodel as gaunu [tex](-\frac{2}{5};\frac{2}{5})[/tex], o knygoje atsakymas [tex](-\frac{5}{2};\frac{5}{2})[/tex].

pakeista prieš 11 m

Jei teisingai randu, tai pirma eilute konverguoja tik vienam taske, kai x=0. Nes apskaiciaves riba [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}+4\cdot n+10}{n^{5}}=0[/tex], randu jog spindulys r=0.

TechnicsAciu uz atsakyma. Gal dar galetumet parasyti paprastesnes eilutes sprendima?

[tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{(1+4\cdot n)\cdot 5^{n}}\cdot x^{n}[/tex]

Kazkodel as gaunu [tex](-\frac{2}{5};\frac{2}{5})[/tex], o knygoje atsakymas [tex](-\frac{5}{2};\frac{5}{2})[/tex].


Prieš atsakydamas norėčiau pamatyti, kaip tu sprendei. Nuobodu tiesiog rašyti sprendimus :)

Neteisingai skaiciuoju riba, reikia taikyti D'Alamberio pozymi [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]. Apskaiciavus randu spinduli  r=1. :)

pakeista prieš 11 m

Mano sprendimas labai trumpas, nors kaip knyga sako neteisingas. Taikau Kosi pozymi.


[tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{(1+4\cdot n)\cdot 5^{n}}}=\frac{2}{5}[/tex]

Na is desimto karto gal ir pavyko gerai parasyt su LATEX :D

P.S. ne visai, ne x, o n arteja prie infinity :D:D

pakeista prieš 11 m

Maple taip pat turi savo nuomone, skaiciuoja jog si riba lygi nuliui.  =]

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »