Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

tai juk priėmėm, kad nulinis sprendinys tinka, tad viskas, dabar nagrinėjame visus nenulinius sprendinius :)

Aš irgi sprendžiau man gavosi taip:

1. Iš pradinių lygčių matosi, kad x,y ir z yra >= 0, nes kiekvieną galima išsireikšti taip :
[tex]y=\frac{4z^2}{1+4x^2}[/tex]
Skaitiklis ir vardiklis teigiami.

2. Sudedam visas tris lygtis, sukeliam į vieną pusę, gaunam reiškinį lygų nuliui. Reiškinį pertvarkom taip kad visi reiškinio nariai būtų lygūs nuliui:

[tex]y+4x^2y+z+4y^2z+x+4z^2x=4z^2+4x^2+4y^2[/tex]

[tex]4x^2(y-1)+4y^2(z-1)+4z^2(x-1)+y+z+x=0[/tex]

[tex]z(1+4y^2)(y-1)+z+x(1+4z^2)(z-1)+x+y(1+4x^2)(x-1)+y=0[/tex]

[tex]z(y-1+4y^3-4y^2+1)+x(z-1+4z^3-4z^2+1)+y(x-1+4x^3-4x^2+1)=0[/tex]

[tex]zy(2y-1)^2+xz(2z-1)^2+yx(2x-1)^2=0[/tex]

Šiaip įdomu kaip tokius uždavinius reikia spręsti, ar paprasčiausiai bandyti visokius variantus kol gale kažkas gaunasi? Gali užtrukti labai ilgai :)

Sugalvojau dar vieną sprendimo būdą, manau:

Pradžioj vėl sprrendinį (0,0,0) priimame, ir dabar nagrinėjame atvejį kuomet visi x, y, z kartu nelygūs nuliui.

Tuomet sudauginame visas tris lygtis, gauname:

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)xyz=64x²y²z²
daliname iš xyz≠0
(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)=64xyz

Iš to, kad (2a-1)²≥0 seka, kad 1+4a²≥4a. Vadinasi

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)=64xyz
  ≥4x      ≥4y      ≥4z

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)≥64xyz

o pas ne >, o =64xyz, vadinasi 2x=2y=2z=1 iš ko sekas sprendinys (1/2,1/2,1/2)

Dar sužinojau, kad tai Respublikinės olimpiados uždavinys, o ne Šiaulių miesto, tiesiog respublikinė šiemet vyko Šiauliuose :)

Taip pat išsiaiškinau, kad visi tokio tipo uždaviniai gali būti sprendžiami tokiu metodu, kuomet nagrinėjami du atvejai:

1) x≥y≥z ir 2) x≥z≥y

Taigi pagal užduoties sąlygą turime:

1) (1+4x²)y≥4xy≥4z²

2) (1+4z²)x≥4zx≥4y²

iš šių dviejų atvejų seka, kad x=y=z
Toliau sprendžiame, kaip kažkurioje anksčiau esančioje mano žinutėje tarę, kad (x,y,z)=(a,a,a)