ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Olimpiados Peržiūrų skaičius (19226)

Raskite visus realiuosius lygciu sistemos

(1 + 4x²)y = 4z²;
(1 + 4y²)z = 4x²;
(1 + 4z²)x = 4y²

sprendinius.

0

Iš kur paimtas šis uždavinys?
Atsakymas bent jau man gaunasi x=y=z=0.5

0

Siauliu miesto olimpiados, siu metu. Tai kanors keicia ? jei gali gal bent kokius veiksmus idetum :) ? idomu kaip gavai.

0

Šiaip įdomu buvo sužinoti iš kur :).
Šiek tiek vėliau įmesiu keletą užuominų kaip ką dariau.

0

Gerai, lauksiu :))

0

(1 + 4x²)y = 4z²
(1 + 4y²)z = 4x²
(1 + 4z²)x = 4y²


Turbūt nesunku pastebėti, kad lygčių sistemos sprendiniai yra x=y=z=0 (gaunasi visur nuliai).
Pažiūrėkime ar dar yra ir kitokių.

Atskliauskime visas lygtis ir jas visas sudėkime:

y + 4x²y = 4z²
z + 4y²z = 4x²
x + 4z²x = 4y²

x + y + z + 4x²y + 4y²z + 4z²x = 4z² + 4x² + 4y²

Sukelkime viską į vieną pusę ir sugrupuokime pagal nežinomuosius ir jų koeficientus:

4x²y - 4x² + x + 4y²z - 4y² + y + 4z²x - 4z² + z = 0

Sugrupuotiems nariams, iškelkime bendrus dauginamuosius:

[tex]4x^2(y-1+\frac{1}{4x})+4y^2(z-1+\frac{1}{4y})+4z^2(x-1+\frac{1}{4z})=0[/tex]

Iš šios lygties matome, kad ji bus nulinė tuomet, kai visi trys reiškiniai bus lygūs nuliui.
Kai x,y ir z lygūs nuliui mes jau aptarėme pradžioje. Dabar sudarysime naują lygčių sistemą:

[tex]\begin{cases}
y-1+\frac{1}{4x}=0
\\
z-1+\frac{1}{4y}=0
\\
x-1+\frac{1}{4z}=0
\end{cases}[/tex]

Ši sistema jau daug paprastesnė už pradinę.
Iš pirmos ir antros lygties išsireiškiame x ir z:

[tex]x=\frac{1}{4-4y}[/tex]
[tex]z=\frac{4y-1}{4y}[/tex]

Įstatome šias reikšmes į trečiąją lygtį:

[tex]\frac{1}{4-4y}-1+\frac{1}{4\cdot\frac{4y-1}{4y}}=0[/tex]

Viską sutvarkius gauname:

[tex]\frac{12y^2-12y+3}{(4-4y)(4y-1)}=0[/tex]
[tex]12y^2-12y+3=0[/tex]
[tex](2y-1)^2=0[/tex]

Išsprendę gauname y=0,5. Toliau randame x ir z:

[tex]x=\frac{1}{4-4y}=\frac{1}{4-4\cdot0.5}=0.5[/tex]
[tex]z=\frac{4y-1}{4y}=\frac{4\cdot0.5-1}{4\cdot0.5}=0.5[/tex]

0

Geras klausimas :)
Taip norėjau supaprastinti sprendimą, kad net pamiršau... Teks parašyti ilgąjį sprendimą... :(

0

Galva neverda jau šiandien :D Ryt pažiūrėsiu dar...

0

Galbūt būtų galima samprotauti taip:

kad nulinis sprendinys (x,y,z)=(0,0,0) tinka, manau akivaizdu, tad jį priimame ir paliekame ramybėj.

galima pastebėti dar vieną dalyką, kad visos trys lygtys yra ekvivalenčios taip pat akivaizdu, nes jei pakeisime tarkime x į y, y į z, o z į x, ar dar kaip nors, gausime tas pačias lygtis, vadinasi peršasi logika, kad šie visi sprendiniai bus vienodi dydžiai, t.y. tarkim (x,y,z)=(a,a,a).
Statome į kuria nors iš lygčių turime:

(1+4a²)a=4a²
daliname iš a≠0
1+4a²=4a
(2a-1)²=0
a=1/2

ats.: (0,0,0) ir (1/2,1/2,1/2).

Kažko ypatingesnio nesumąstau.

0

Super! Pagarba Vitalijau :/. Jei ne paslaptis kokius mokslus baiges esi ?

Paskutinį kartą atnaujinta 2011-05-15

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!