Matematikos Maratonas Nr. 2

Matematinė indukcija. :)

Tikriname, kai n=0

[tex]133|11^{0+2}+12^{2*0+1}[/tex]
133|133 => viskas sutampa
Dabar tikriname kai n=n+1

[tex]133|(11^{n+3}+12^{2n+3})[/tex]
[tex]133|11^{n+2}*11+12^{2n+1}*12^{2}[/tex]
[tex]133|11^{n+2}*10+11^{n+2}+12^{2n+1}+143*12^{2n+1}[/tex]
[tex]133|11^{n+2}*10+143*12^{2n+1}[/tex]
[tex]133|11^{n+2}*10+133*12^{2n+1}+10*12^{2n+1}[/tex]
[tex]133|11^{n+2}*10+10*12^{2n+1}[/tex]
[tex]133|10*(11^{n+2}+12^{2n+1}) => 11^{n+2}+12^{2n+1}[/tex] dalijasi (prielaida)

Kiek sveikųjų sprendinių turi lygtis:

[tex]x_{1}+...+x_{6}=30[/tex]   

[tex]0 \leq  x_{i} \leq 10,[/tex]    [tex]i=1,...,6[/tex]

Sėkmės :)

Niekas neišsprendė, todėl įkeliu sprendimą.

Darome tokią prielaidą:

[tex]A[/tex] - sprendinių aibė kai [tex]x \geq 0[/tex]
[tex]B_{i}[/tex] - sprendinių aibė kai [tex]x \geq 11[/tex] ir i=1,...,6

Reikia apskaičiuoti

[tex]|A|[/tex] - [tex]|B_{1}\cup...\cup B_{6}|[/tex]

Žinome kad iš viso yra [tex]C_{30+6-1}^{6-1}[/tex] sprendinių. (Deriniai be pasikartojimo))

Dabar reikia pastebėti, kad lygties [tex]x_{1}+...+x_{k}=n[/tex] ir [tex]x_{i} \geq m_{i}[/tex] [tex](i=1,...,k)[/tex] sprendinių yra:

[tex]C_{n-(m_{1}+...+m_{k})+k-1}^{k-1}[/tex]

Taigi [tex]|B_{i}|=C_{30-11+6-1}^{6-1}[/tex]  [tex]i=1,...,6 (x \geq 11)[/tex]) nes m = 11


Dabar skaičiuojam

[tex]|B_{i} \cap B_{j}| = C_{30-(11+11)+6-1}^{6-1}[/tex], [tex]i<j[/tex]

Ir dar:

[tex]|B_{i} \cap B_{j} \cap B_{k}| = C_{30-(11+11+11)+6-1}^{6-1} = 0 [/tex]
[tex]i<j<k[/tex]

Toliau galima jau neskaičiuoti, nes bus 0

[tex]|B_{1}\cup...\cup B_{6}|=6*C_{24}^{5}-C_{6}^{2}*C_{13}^{5}[/tex]

(Abrahamo de Moivre formulė: http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle)

Taigi mūsų atsakymas:

[tex]C_{35}^{5}-(6*C_{24}^{5}-C_{6}^{2}*C_{13}^{5})=88913[/tex]

[tex]C_{6}^{2}[/tex] - tiek yra [tex]|B_{i} \cap B_{j}|[/tex]  porų

Įdomus sprendimas :D man po 30000 atsibodo skaičiuot

Naują gal įdėkit kas nors?

[tex]a^{4}\geq 0[/tex] , [tex]b^{4}\geq 0[/tex]  ,  [tex]a^{4}+b^{4}+2=x> 0[/tex]
[tex]\frac{x+1}{\sqrt{x}}> \frac{21}{10}[/tex] [tex]|\cdot 10\sqrt{x}> 0[/tex][tex]\Rightarrow 10x+10> 21\sqrt{x}[/tex]
[tex] 10x+10> 21\sqrt{x}[/tex][tex] | ^{2}[/tex][tex]\Rightarrow 100x^{2}+200x+100> 21x\Rightarrow 100x^{2}+179x+100> 0[/tex]
Nelygybė teisinga su visais [tex]x\epsilon \mathbb{R}[/tex]

Ar čia iš kažkokios savo sugalvotos formulės reikėjo pateiktą gauti? :D

VaLDaSS[tex]a^{4}\geq 0[/tex] , [tex]b^{4}\geq 0[/tex]  ,  [tex]a^{4}+b^{4}+2=x> 0[/tex]
[tex]\frac{x+1}{\sqrt{x}}> \frac{21}{10}[/tex] [tex]|\cdot 10\sqrt{x}> 0[/tex][tex]\Rightarrow 10x+10> 21\sqrt{x}[/tex]
[tex] 10x+10> 21\sqrt{x}[/tex][tex] | ^{2}[/tex][tex]\Rightarrow 100x^{2}+200x+100> 21x\Rightarrow 100x^{2}+179x+100> 0[/tex]
Nelygybė teisinga su visais [tex]x\epsilon \mathbb{R}[/tex]

Tokį būdą ir turėjau galvoje :D

Milkhatern := √(a^4 + b^4 + 2) ≥ √2
m := a^4 + b^4 + 3 = a^4 + b^4 + 2 + 1 ≥ (√2)² + 1 = 3
m/n = 3/√2 ≈ 2,12 > 2,1