eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Matematikos Maratonas Nr. 3


Lengva matyt, jog x+y+z= x³+y³+z³ (pakanka sudėt lygtis).
Tarkime, jog x>1. Tada x³ > x, ir
4x³ - 3x > x, o tai reiškia, jog z > x (trečioji lygtis). Taigi, ir z > 1.
Tada z³ > z, 4z³ - 3z > z, t.y. y > z.
Taigi, jei tik vienas kintamasis didesnis už vienetą, tai ir kiti kintamieji bus didesni už vienetą, ir tada kintamųjų suma nebus lygi jų kubų sumai.
Analogiškai galima pagrįsti, jog kintamieji negali būt mažesni už (- 1).
Tad ir lieka intervalai [- 1; 1].

pakeista prieš 6 m

Na va dabar kita kalba. Galiu užskaityti sprendimą.

Apskaičiuokite netiesioginį integralą su begaliniu rėžiu:
∫(lnx/(4 + x²))dx.
Integralo rėžiai- nuo nulio iki plius begalybės.
P.S. Integralo konvergavimo įrodymas nebūtinas. Laikykim, jog tai jau įrodyta .  Pavyzdžiui, išplaukia iš palyginimo požymio, taikant lengvai įrodomą nelygybę lnx≤ √(2x) + ln2 - 2,
kai x≥2.

[tex]I=\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2+4}dx=\begin{vmatrix}x=\dfrac{4}{t};&t=\dfrac{4}{x}; \\dx=-\dfrac{4}{t^2}; & \\\alpha=+\infty; &\beta=0; \end{vmatrix}=\displaystyle \int\limits_{+\infty}^{0}\dfrac{\ln (\frac{4}{t})}{(\frac{4}{t})^2+4}\cdot \dfrac{-4}{t^2}dt=\displaystyle -\int\limits_{+\infty}^{0}\dfrac{\ln 4-\ln t}{t^2+4}dt=\\=\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln 4-\ln t}{t^2+4}dt=\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln 4}{t^2+4}dt-\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln t}{t^2+4}dt=(\ln2)\arctan\left(\dfrac{t}{2}\right)\Biggr|_{0}^{\infty}-I;[/tex]
[tex]2I=(\ln2)\arctan\left(\dfrac{t}{2}\right)\Biggr|_{0}^{\infty}=(\ln2)\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-0\right)=\dfrac{\pi\ln2}{2}[/tex]
[tex]I=\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2+4}dx=\dfrac{\pi\ln2}{4}[/tex]

Taip Tomai, puiku !

Į apskritimą, kurio spindulio ilgis lygus [tex]\frac{\sqrt{2}}{4}[/tex] įbrėžiamas taisyklingas aštuoniakampis. Vėliau sujungiami šio aštuoniakampio kraštinių vidurio taškai ir gaunamas naujas aštuoniakampis, vėliau sujungiami šio aštuoniakampio kraštinių vidurio taškai ir vėl gaunamas aštuoniakampis. Taip daroma begalę kartų. Visų aštuoniakampių plotų sumos reikšmę galime užrašyti pavidalu: [tex]\sqrt{a}+b[/tex], kur [tex]a,b∈ \mathbb{Z},\space a>0[/tex]. Raskite [tex]a,b[/tex] reikšmes.

Tegu pradinio aštuonkampio kraštinė 2x.
Naujo aštuonkampio kraštinės kvadraas b²= x²+x²- 2x*x*cos135= x²(2 + √2).
Kraštinių kvadratų (plotų) santykis S2/ S1= q= (2+√2)/4.
Pradinio aštuonkampio plotas S1 = 8*(1/2) R²sin45= √2/4.
Nykstamosios geometrinės progresijos suma
S1+ qS1 + q²S1+...= (S1)/(1 - q)= 1+√√2.
Atsakymas" 1+√2.

Taip viskas gerai, tik priešpaskutinėje eilutėje nereikia dvigubos šaknies.

Kol kas dar lengvą pasiūlysiu...
Taisyklingojo aštuonkampio visų kraštinių bei įstrižainių ilgių kvadratų suma lygi 32288√2.
Apskaičiuokite šio taisyklingojo aštuonkampio plotą.
P.S.  Taisyklingasis aštuonkampis taip primena Naujametę snaigę...

Turime trijų rūšių įstrižaines pagal ilgį:
https://www.ematematikas.lt/upload/images/1512856619_2093.png
Galime užrašyti, kad:
$$a^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cdot \cos\left(\dfrac{360^o}{8}\right)=R^2(2-\sqrt{2})$$ Pirmuoju atveju įstrižainių ilgiai lygūs [tex]2R[/tex], tokių įstrižainių turime keturias, vadinasi jų ilgių kvadratų suma lygi $$4\cdot (2R)^2=16R^2$$ Antruoju atveju nagrinėjame bukajį trikampį, kurio bukasis kampas lygus [tex]45^o\cdot 3=135^o[/tex]
Pagal kosinusų teoremą ieškomos įstrižainės ilgio kvadratas [tex]d_1^2[/tex] lygus:
$$d_1^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos(135^o)=R^2(2+\sqrt{2})$$ Tokių įstrižainių turime 8, visų jų ilgių kvadratų suma lygi:
$$8d_1^2=8R^2(2+\sqrt{2})$$ Paskutiniuoju atveju įstrižainės ilgio kvadratą [tex]d_2^2[/tex] randame taikyti Pitagoro teoremą: $$d_2^2=R^2+R^2=2R^2$$ Tokių įstrižainių turime 8, taigi visų jų ilgių kvadratų suma lygi: $$8\cdot 2R^2=16R^2$$
Galiausiai galime užrašyti visų aštuoniakampio įstrižainių ilgių kvadratų sumą: $$16R^2+8R^2(2+\sqrt{2})+16R^2=48R^2+8\sqrt{2}R^2$$ Tuo tarpu aštuoniakampio kraštinių ilgių kvadratų suma lygi: $$8a^2=8R^2(2-\sqrt{2})=16R^2-8\sqrt{2}R^2$$ Tuomet sudėję kraštinių ir įstrižainių ilgių kvadratų sumas prilyginame [tex]32288\sqrt{2}[/tex] ir gauname lygtį:
$$48R^2+8\sqrt{2}R^2+16R^2-8\sqrt{2}R^2=32288\sqrt{2}\iff 64R^2=32288\sqrt{2}\iff R^2=\dfrac{1009\sqrt{2}}{2}$$ (jau šitoje vietoje supratau prie ko atsakymas "linksta")
Aštuoniakampio plotas:
$$S=8\cdot \dfrac{1}{2}R^2\cdot \sin(45^o)=2\sqrt{2}R^2=2\sqrt{2}\cdot \dfrac{1009\sqrt{2}}{2}=2018$$
Turiu pastebėti ir atsakymas primena artėjančius naujuosius :)

pakeista prieš 6 m

Šioje temoje naujų pranešimų rašymas yra išjungtas!