Matematikos Maratonas Nr. 3

Teiginys klaidingas. Pavyzdžiui, kai n=3, skaičiaus sveikoji dalis 14.
Gal n turi būt  lyginis natūralusis?

Pataisiau.

Išreiškiant turimą dvinario laipsnį Niutono binomu, arba taikant indukciją, gauname:
(2+√3)^n = k + m√3, kur k ir m-natūralieji skaičiai.
Šiam skaičiui atvirkštinis skaičius
(2- √3)^n = k - m√3.
Sudėję dvi pastarąsias lygybes, gauname
(2+√3)^n + (2- √3)^n = 2k.
Taigi,
(2+√3)^n = (2k -1) + 1 - (2- √3)^n.
Kadangi 0< 1- (2- √3)^n < 1, tai [(2+√3)^n]= 2k- 1, t.y. nelyginis skaičius.
Įrodyta.

Gerai.

Su kokiomis parametro a reikšmėmis lygtis
ax³ - x²+ 3 =0
turi tris (skirtingus) sprendinius ?

Taip. Teisingai.

Kodėl toks lengvas? :)
Ir kodėl n≠1 ?
∫(1+x+x²+...+x^(n-1))dx=x+(x²/2) + (x³/3)+...+ x^n /n.
Atsakymas: 1+ 1/2 + 1/3 +...+1/n.

Kiek sprendinių (x, y) sveikųjų skaičių aibėje (x∈Z, y∈Z) turi lygtis
(x+y)((3/x) + (1/y))= 8
skritulyje x²+y² ≤ 2018 ?

Taip, Karoli, teisingai!  Ir pateikta puikiai.
Džiugu, labai džiugu...

Na taip, taip, bet sunku kompu parašyt. Nemoku aš. Čia reikia žymėt išvestinę, antrą išvestinę...
Dvasia tokia: Oilerio konstanta a=Gama f. išvestinei taške 1, paimtai su priešingu ženklu. Beje, G(1) = 1.
lnG(x) = - ax - lnx +∑(x/n- ln(((x/n)+1)).
Logaritminė išvestinė
- a - 1/x + ∑((1/n) - 1/(x+n))
Reiškinio lnG(x) antroji išvestinė
(1/x²)+∑(1/(x+n)². Kai x=1, pastaroji suma yra (pi)²/6.
G funkcijos išvestinę žymėsiu g, antrą išvestinę žymėsiu k.
Tada (lnG) išvestinė g/G, Antroji išvestinė
(kG- g²)/G².
Kai x=1, G(1)=1, g(1)= - a, k(1)= ∫(e^(-x)(lnx)²dx.
Todėl k(1)- a²= (pi)²/6, iš čia ir gauname pateiktą išraišką integralui k(1), t.y. antrajai gama funkcijos išvestinei taške x=1.