Matematikos Maratonas Nr. 3

Raskite lygties [math]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=40\;; x_1,x_2,x_3,x_4,x_5∈\mathbb{Z}[/math] sprendinių skaičių, kai [math] x_i≥0,i∈\{1,2,3,4,5\} [/math]

Įsivaizduokime, jog turime 40 vienetų (objektų):
[tex]\underbrace{111111...11}_{\text{40}}[/tex]
Padalinkime šią objektų grupę į 5 dalis (nebūtinai lygias). Kiekvieną jų atskirkime tiesiog [tex]|[/tex]:
[tex]\underbrace{11...1|111...1|11...1|1...1|1111...1}_{\text{40}}[/tex]

Kiekvienos gautos [tex]i[/tex]-tosios grupės narių reikšmių sumą pažymėję [tex]x_{i}[/tex] gauname, jog:
[tex]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=40[/tex], vadinasi, kai [tex]x_{i}∈N, i∈\big\{1,2,3,4,5\big\}[/tex] pateiktą uždavinį galime suprasti, kaip: Kiek yra būdų 40 objektų (vienetų) suskirstyti į penkias grupes.
Taigi galimybių skaičių skaičiuojame taip: Padėti pirmą brūkšnį, kuris atskirtų elementus į dvi dalis galimybių yra [tex]39[/tex], padėti antrąjį - [tex]38[/tex] (jau turime tris dalis), trečiąjį - [tex]37[/tex] (turime keturias dalis) ir ketvirtąjį - [tex]36[/tex] (padalijome į penkias dalis). Kadangi nesvarbu atskiriamuosius brūkšnius galime keisti vietomis taip nepakeidami objektų padalijimo, tai skaičiuojame derinius:
[tex]C_{39}^{4}[/tex]

Tačiau šis atsakymas tiktų, jei skaičiuotume, jog [tex]x_{i}∈N[/tex], kadangi [tex]x[/tex] gali įgyti ir reikšmę 0, tai turime šiek tiek pakoreguoti mūsų skaičiavimą.
Įvedame naują objektą, kurį žymėsime [tex]0[/tex]. Šių  objektų daugiausiai gali būti [tex]4[/tex], kadangi bent vienas neturi būti lygus [tex]0[/tex].

Taigi prie [tex]40[/tex] vienetų pridedame [tex]4[/tex] nulius.
Tada viso turėsime 44 objektus:
[tex]\underbrace{111111...11}_{\text{40}}0000[/tex]
Šiuos elementus vėl daliname į penkias dalis, jei kurioje grupėje visi objektai bus [tex]0[/tex], tai reikš, jog kažkuris iš sumos dėmenų yra lygus 0. Taigi dabar tiesiog skaičiuojame derinių skaičių iš 44 po 4:
[tex]C_{44}^{4}=\dfrac{44!}{4!\cdot 40!}=\dfrac{44\cdot 43\cdot 42\cdot 41}{24}=135751[/tex]

Atsakymas geras. :)
Tik pastebėjimas, kad jei būtų [math]x_{i}∈\mathbb{N}[/math], tai kiekvienas blokas turėtų jau po vieną vienetą. Todėl [math]C_{44-5}^4[/math].

A taip, pasitaisiau :) tuoj įkelsiu savo užduotį.

Kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus 12, padalintas į 9 lygius kvadratėlius. Tam tikrų kvadratėlių viršūnėse pažymėti taškai, kurie yra apskritimų centrai. Besikirsdami apskritimai sukuria figūrą, kuri paveikslėlyje nuspalvinta  raudonai. Raskite jos plotą.

Padalinkime kvadratą tokiu būdu:

[math]S_{raud}=S_{kvadrato}-(S_{viol}+S_{gelt}+S_{zal}+S_{rud}+S_{orandz}+S_{rozin})[/math]
[math]S_{kvadrato}=144[/math]
[math]S_{viol}=4*4*2=32[/math]
[math]S_{gelt}=8*8-\frac{8*8*\pi}{4}=64-16\pi[/math]
[math]S_{zal}=12*12-\frac{12*12*\pi}{4}=144-36\pi[/math]
[math]S_{rud}=\frac{4*4}{2}=8[/math]
[math]S_{orandz}=\frac{8*8*\pi}{4}-\frac{8*8}{2}=16\pi-32[/math]
[math]S_{rozin}=\frac{4*4*\pi}{4}-\frac{4*4}{2}=4\pi-8[/math]
[math]S_{raud}=144-32-64+16\pi-144+36\pi-8-16\pi+32-4\pi+8=32\pi-64[/math]

Viskas teisingai :) Gali kelti savo užduotį

Racionalią trupmeną [math]\frac{1}{x(x-1)(x-2)...(x-n)}[/math] išreikškite paprastųjų trupmenų suma.

Uždavinio sprendimas
Tarkime, kad [math]\frac{1}{x(x-1)...(x-n)}=\sum_{k=0}^n\frac{a_{k,n}}{x-k}[/math]. Dabar mūsų užduotis yra rasti koeficientų [math]a_{k,n}[/math] reikšmes. Padauginam turima lygybę iš [math]x-i,\;0≤i≤n[/math], ir gaunam [math]\frac{1}{x(x-1)...(x-(i-1))(x-(i+1))...(x-n)}=\sum_{k=0,k≠i}^n\frac{a_{k,n}(x-i)}{x-k}+a_{i,n}[/math]. Lygybėje vietoje x įrašom [math]i[/math] ir gaunam koeficientų išraišką [math]a_{i,n}=\frac{1}{i*(i-1)...(1)*(-1)...(i-n)}=\frac{1}{i!(-1)^{n-i}(n-i)!}=\frac{(-1)^{n-i}C_{n}^{i}}{n!}[/math]. Taigi, [math]\frac{1}{x(x-1)...(x-n)}=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}C_{n}^{k}}{n!(x-k)}[/math]

Raskite visus [math]n[/math], kad [math]n^5+3[/math] dalytusi iš [math]n^2+1[/math].