Matematikos Maratonas Nr. 3

Šios funkcijos apibrėžtimo sritis: [tex]D_f=\mathbb{R}[/tex].
[tex]f'(x)=\dfrac{2πx}{(1+x^2)^2}\left(2\sin\left(\dfrac{πx}{1+x^2}\right)-1\right)[/tex]
Sprendžiame lygtį [tex]f'(x)=0[/tex] ir randame kritinius taškus:
[tex]x=0[/tex]
arba
[tex]2\sin\left(\dfrac{πx}{1+x^2}\right)-1=0\implies \sin\left(\dfrac{πx}{1+x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\implies \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{(-1)^k}{6}+k,\space k∈\mathbb{Z}[/tex]
Raskime funkcijos [tex]y=\dfrac{1}{1+x^2}[/tex] reikšmių sritį. Kadangi [tex]∀x∈R:\space x^2+1≥1[/tex], o kai [tex]x≥1[/tex], tai [tex]0<\dfrac{1}{x}≤1[/tex], tai [tex]E_y=(0;1][/tex].
Taigi grįžę prie spręstos lygties, reikalaujame, kad: $$0<\dfrac{(-1)^k}{6}+k≤1$$ Iš čia gauname, kad [tex]k=0,\space k=1.[/tex] Su kiekviena šių reikšmių gauname tokias lygtis:
[tex]\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{6}[/tex] ir [tex]\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{5}{6}[/tex]
Jas išsprendę, gauname, kad [tex]x=±\sqrt{\dfrac{1}{5}}, \space x=±\sqrt{5}[/tex]. Šie sprendiniai ir sprendinys [tex]x=0[/tex] yra funkcijos [tex]f(x)[/tex] kritiniai taškai.
Radę išvestinių ženklus gautuose intervaluose, gauname, jog funkcijos minimumai yra [tex]f(-\sqrt{\frac{1}{5}})=f(\sqrt{\frac{1}{5}})=\dfrac{5π}{6}-\sqrt{3}[/tex]
maksimumai:
[tex]f(-\sqrt{5})=f(\sqrt{5})=\dfrac{π}{6}+\sqrt{3},\space f(0)=π-2[/tex]
Galiausiai paskaičiuokime ribą:
[tex]\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{π}{1+x^2}+2\cos\left(\dfrac{π}{1+x^2}\right)\right)=0+2\cos(0)=2[/tex]
Viso to mums pakanka, jog galėtume konstatuoti, jog mažiausia funkcijos [tex]f(x)[/tex] įgyjama reikšmė lygi [tex]\dfrac{5π}{6}-\sqrt{3}[/tex], o didžiausia: [tex]\dfrac{π}{6}+\sqrt{3}[/tex].
Vadinasi: [tex]E_f=\left[\dfrac{5π}{6}-\sqrt{3};\dfrac{π}{6}+\sqrt{3}\right][/tex]

Kodėl [tex]x_{n+2}=\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2} \Rightarrow x_{n}=2x_{n-2}-x_{n-1}[/tex]?

P.s. http://www.wolframalpha.com/input/?i=((-2)%5E(n)%2B12%2B(-2)%5E(n-1)%2B12)%2F2 nepanašu, kad atsakymas būtų geras.

Aš pertvakęs tą formulę, vėliau pakoregavau ir eilės numerius, bet esmė liko ta pati. Čia tiesiog dvi skirtingos formulės ir implikacijos čia nereiktų rašyti. Galėjau aiškumo dėlei pakeisti eilės numerio žymėjimą.

Žiūrėk, jei tavo išvesta formulė yra teisinga, tai turėtų galioti lygybė [tex]x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}[/tex], teisingai? Bet, [tex]\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}=\frac{(-2)^n+12+(-2)^{n-1}+12}{2}=(-2)^{n-2}+12≠(-2)^{n+1}+12=x_n.[/tex]

Mano tiesiog pirma lygybė neteisingai užrašyta. Ji užrašyta lyg būtų sąlygoje pasakyta, jog kiekvienas narys yra lygus prieš jį esančių dviejų narių aritmetiniam vidurkiui. Bet toliau viskas yra gerai. Aš tą klaidą pataisysiu komentare. Tiesa tokiu atveju man kaip ir nebuvo prasmės keisti tos pradinės sekos formulės užrašymo, bet nenoriu dabar jau keisti viso sprendimo.

Pasirodo, negerai sąlygą perskaičiau. Liūdna.

Reikšmių srities radimo uždavinys išspręstas gerai.

Raskite didžiausio apskritimo, įbrėžto tarp kreivių [tex]y=-e^{-x^2}[/tex] ir [tex]y=e^{-x^2}[/tex], plotą.

Apskritimo spindulio kvadratas yra minf(t),
f(t)= t²+ e^(-2t²). t>0
Išvestinė 2t- 4te^(-2t^2)=0, kai e^(-2t^2) = 1/2
t.y. kai t=a=√(ln2/2).
Kai 0<t<a išvestinė neigiama, kai t>a,-teigiama. Tad a yra f(t) minimumo taškas.
Funkcijos minimumas minf(t)= f(a)= (ln2+1)/2.
Skritulio plotas (ln2+1)pi /2.

Teisingai :)