Matematikos Maratonas Nr. 3

Sveikąją skaičiaus dalį žymėkime [ ]. Ar egzistuoja tokios [tex]n∈N[/tex] reikšmės, jog jos būtų lygties:
$$\left[\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}\right)^2\right]=-n^2+45n-300$$ sprendiniai? Jei taip, tai raskite jas.

Pagal skaičiaus a sveikosios dalies savybę [a]≤ a < [a]+1. Todėl
-n²+45n - 300 ≤ (√n + √(n+1) + √(n+2))² < - n²+ 45n- 299.
Šiek tiek "praplėsime" sprendinių aibę savybės 3√n < √n+√(n+1)+√(n+2)< 3√(n+1) pagalba. Nuo to galime nebent "įsigyti pašalinių sprendinių", nuo ko mus nuostabiai "išgelbės" banali patikra.
Gauname: -n²+ 45n - 300 < 9(n+1)
          -n²+45n-299> 9n.
Išsprendę šią nelygybių sistemą, gauname
n∈(13; 18-√15)∪(18+√15; 23).
Natūralieji sprendiniai n=14, n=22. Patikrinę, gauname lygybės patvirtinimą.
Atsakymas: {14, 22}.

Pagal skaičiaus a sveikosios dalies savybę [a]≤ a < [a]+1. Todėl
-n²+45n - 300 ≤ (√n + √(n+1) + √(n+2))² < - n²+ 45n- 299.
Šiek tiek "praplėsime" sprendinių aibę savybės 3√n < √n+√(n+1)+√(n+2)< 3√(n+1) pagalba. Nuo to galime nebent "įsigyti pašalinių sprendinių", nuo ko mus nuostabiai "išgelbės" banali patikra.
Gauname: -n²+ 45n - 300 < 9(n+1)
          -n²+45n-299> 9n.
Išsprendę šią nelygybių sistemą, gauname
n∈(13; 18-√15)∪(18+√15; 23).
Natūralieji sprendiniai n=14, n=22. Patikrinę, gauname lygybės patvirtinimą.
Atsakymas: {14, 22}.

Šaunu! Galite kelti kitą užduotį.

Išspręskite lygtį
[tex]3^{x^{2}-2x}[/tex] =[tex]\sqrt{2sinx-2\sqrt{2sinx-1}}+ \sqrt{2sinx-1}[/tex]

Nagrinėkime reiškinio [tex]\sqrt{2\sin x-2\sqrt{2\sin x-1}}+\sqrt{2\sin x-1}[/tex] reikšmių sritį.
Pažymime [tex]t=\sqrt{2\sin x-1}[/tex]. Tada: [tex]2\sin x=t^2+1[/tex].
[tex]\sqrt{2\sin x-2\sqrt{2\sin x-1}}+\sqrt{2\sin x-1}=\sqrt{t^2+1-2t}+t=\sqrt{(t-1)^2}+t=|t-1|+t[/tex]
Atkreipkime dėmesį, jog dydis [tex]t[/tex] yra apribotas. Raskime funkcijos [tex]t(x)=\sqrt{2\sin x-1}[/tex] reikšmių sritį.
[tex]-1≤\sin x≤1\implies -2≤2\sin x≤2\implies -3≤2\sin x-1≤1\implies 0≤\sqrt{2\sin x-1}≤1[/tex]
Vadinasi dydis [tex]t[/tex] privalo tenkinti šią nelygybę: [tex]0≤t≤1[/tex].
Belieka rasti reiškinio [tex]|t-1|+t[/tex] reikšmių sritį, kai [tex]0≤t≤1[/tex].
Kai [tex]0≤t≤1[/tex], tai [tex]|t-1|=1-t[/tex], vadinasi: [tex]|t-1|+t=1-t+t=1[/tex].
Taigi įsitikinome, jog nepriklausomai nuo [tex]x[/tex] reikšmės, jei ji tenkina nelygybę [tex]2\sin x-1≥0[/tex], dešinėje duotos lygties pusėje esantis reiškinys visada įgyja reikšmę lygią 1. Taigi mums belieka išspręsti tokią duotai lygčiai ekvivalenčią sistemą:
[tex]\begin{cases}
3^{x^2-2x}=1 \\
2\sin x-1≥0
\end{cases}\implies \begin{cases}
3^{x^2-2x}=3^0 \\
2\sin x-1≥0
\end{cases}\implies \begin{cases}
x(x-2)=0 \\
2\sin x-1≥0
\end{cases}\implies \begin{cases}
x=0,\space x=2 \\
2\sin x-1≥0
\end{cases}\implies x=2[/tex]
Ats.: 2.

Labai gerai! Laukiame kito uždavinio.

Į apskritimą įbrėžtas keturkampis ABCD (CB[tex]\nparallel[/tex]AD, CD>AB), kurio plotas lygus S, o pusperimetris s. Pažymėkime AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Pratęsus tieses CB ir AD, jos kertasi taške E.
1) Pažymėję x=CE ir y=ED, įrodykite, jog trikampio CDE plotas gali būti apskaičiuojamas pagal formulę: [tex]S_{ΔCDE}=\dfrac{1}{4}\sqrt{(x+y+c)(x+y-c)(x-y+c)(y-x+c)}[/tex]
2) Įrodykite, jog teisinga lygybė:
[tex]\dfrac{S}{S_{ΔCDE}}=\dfrac{c^2-a^2}{c^2}[/tex]
3) Įrodykite, jog teisinga lygybė:
[tex]x±y=c\dfrac{b±d}{c∓a}[/tex]
4) Įrodykite, jog teisinga lygybė:
[tex]S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}[/tex]

Antros formulės dešinės pusės skaitiklyje reikia modulio.

Kadangi viena iš kraštinių CD arba AB turi būti ilgesnė už kitą, laikykime, jog ilgesnioji yra kraštinė CD. Pridėsiu tai ir prie mano aukščiau užrašytos sąlygos.