Matematikos Maratonas Nr. 3

Neaiški sprendimo eiga. Neužskaitau. Ką reiškia "kai kurios manipuliacijos"?...
Nebūtina rodyt smulkmenų. Tačiau būtina parodyt veiksmų esmę. Antraip...mes būsime paskutiniai..."Kai kurios manipuliacijos"....Tai mes tapsime "kai kuriais"....

"kai kurias manipuliacijas" reiškia [tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin{2x}}\; dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\sin{x}}\; dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\cos{x}}\; dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{2}\; dx=2I+\frac{\pi}{2}\ln{2}[/tex]. Nelabai matau prasmės aiškint lygybės išvedimą, kai parodžiau, kad [tex]I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{\cos{x}}\; dx [/tex].

Gerai, laukiam kito uždavinio. Bet...DAŽNIAU DALYVAUKIT MARATONE. Nes, susidaro įspūdis, jog ...išvis tuoj neliks idėjinių matematikų. Dažniau dalyvaukite :)

Su kuriais [tex]m \in \mathbb{N}[/tex] polinomas [tex](x+1)^m+x^m+1[/tex] dalijasi iš polinomo [tex](x^2+x+1)^2[/tex].

Daugianaris (z²+z+1)² turi dvi (antros eilės kartotines) šaknis: (-1+i√3)/2 ir (-1-i√3)/2.
Pakanka pareikalaut, kad šie skaičiai būtų ir duotojo m-jo laipsnio daugianario, ir jo išvestinės, šaknys.
Pradėkim nuo išvestinės. Pareikalausime, kad skaičius (-1+i√3)/2 būtų lygties
(z+1)^(m-1) + z^(m-1)=0 sprendinys. Įrašę vietoj z šį skaičių, pereiname prie kompleksinio skaičiaus trigonometrinės formos bei taikome Muavro formulę. Gauname
cos(pi(m-1)/3)+isin(pi(m-1)/3)+(-1)^(m-1)(cos(pi(m-1)/3)- isin(pi(m-1)/3))=0.
Kai m nelyginis, gauname 2cos(pi(m-1)/3)=0. Ši lygtis neturi sveikųjų sprendinių.
Kai m lyginis gauname 2i sin(pi(m-1)/3)=0.
Gautos lygties sveikieji lyginiai sprendiniai m=6k-2, k∈Z, o kai k≥1,-natūralieji.
Kita ketvirtojo laipsnio daugianario šaknis tiriama analogiškai, ir duoda tokią pačią išvadą.
Dabar įrašome (-1+i√3)/2 į patį m-jo laipsnio daugianarį, ir pereiname prie trigonometrinės formos.
((1+i√3)/2)^m + ((-1+i√3)/2)^m+1= cos(pi m/3)+isin(pi m/3+(-1)^m( cos(pi m/3)-isin(pi m/3))+1
Banaliu įrašymu m=6k-2 įsitikinsime, jog su šiomis m reikšmėmis m-jo laipsnio daugianario reikšmė lygi nuliui. Tai reiškia, jog įrašytas skaičius su šiomis m reikšmėmis yra daugianario šaknis.
Kita šaknis (-1-i√3)/2 įrašoma analogiškai, rezultatas tas pats.
Atsakymas: {6k-2| k∈N}

Labai gerai.

Tegu A, B, C, D- taisyklingojo keturkampio viršūnės. Keliais būdais galima sudaryt tris grandis turinčią, savęs nekertančią, neuždarą laužtę? Aišku, jog AŠTUONIAIS . Tai
ABCD, BCDA, CDAB, DABC, ABDC, BCAD, CDBA, DACB.
Keliais būdais galima sudaryti septynias grandis turinčią neuždarą ir savęs nekertančią laužtę su viršūnėmis taisyklingojo dvylikakampio viršūnėse ?

UŽDAVINIO SPRENDIMAS

Iš pradžių 495 būdais (derinių iš 12 po 8 skaičius) parenkame aštuonias būsimos laužtės viršūnes.
Pažymėsime jas išsidėstymo (orientuotąja) tvarka A, B, C, D, E, F, G, H.
Laužtės pirmąją viršūnę renkamės 8 būdais. Pavyzdžiui, pasirinkome A. Antrą viršūnę galima pasirinkt tik 2 būdais- B arba H (kitaip laužtė kirs save). Pavyzdžiui, pasirinkome H. Tada trečiąją viršūnę rinksimės irgi 2 būdais- B arba G. Pavyzdžiui, pasirinkome B. Ketvirtą laužtės viršūnę renkamės vėl 2 būdais- C arba G. Pavyzdžiui, pasirinkome C. Penktąją viršūnę renkamės vėl 2 būdais- G arba D. Pavyzdžiui, pasirinkome D. Šeštą viršūnę vėl renkamės 2 būdais- G arba E. Pavyzdžiui, pasirinkome G. Tada septintą viršūnę renkamės vėl 2 būdais- F arba E. Bet kuriuo atveju paskutinę,-aštuntąją laužtės viršūnę renkamės vieninteliu būdu.
Taigi, viso yra 495[tex]\cdot 8\cdot 2^{6}\cdot 1=253440[/tex]
Tačiau tai yra ORIENTUOTŲ laužčių skaičius, t.y. kuomet laužtės AHBCDGEF ir FEGDCBHA laikomos skirtingomis. Todėl rezultatą būtina padalinti iš dviejų.
Atsakymas:  126720
P.S. Turint taisyklingąjį n-kampį, galima sudaryt (m-1) grandžių (t,y m viršūnių) turinčių savęs nekertančių bei neuždarų laužčių
[tex]\frac{n!}{m!\left ( n-m \right )!}\cdot m\cdot 2^{m-3}[/tex]

ŠVENTĖS BE UŽDAVINIŲ- NE ŠVENTĖS:)
Yra 1550 didelių dėžių. Į dalį jų įdėta po 18 vidutinių dėžių. Į dalį šių vidutinių dėžių įdėta po 18 mažų dėžių.
Dabar tuščių dėžių iš viso yra 1992.  Koks yra visų dėžių skaičius?

Tarkim [tex]y[/tex] - užimtos didelės dėžės. Tada laisvų didelių dežių [tex]1550-y[/tex]. Tarkim [tex]z[/tex] - užimtos vidutinės dėžės. Tada laisvų vidutinių dėžių [tex]18y-z[/tex]. Toliau gaunam [tex]18y-z+18z[/tex] - laisvų vidutinių ir mažų dėžių skaičių. Galų gale gauname visų laisvų dėžių skaičių [tex]1550-y+18y-z+18z[/tex] arba [tex]1550+17y+17z[/tex]. Iš sąlygos turime, kad pastarasis skaičius lygus [tex]1992[/tex] t.y. turime [tex]1550+17y+17z=1992[/tex] arba [tex]y+z=26[/tex]. Visų dėžių skaičius užsirašo kaip [tex]1550+18y+18z[/tex]. Iš lygybės [tex]y+z=26[/tex] gauname [tex]1550+18y+18z=1550+18(y+z)=1550+18*26=2018[/tex].