Matematikos Maratonas Nr. 3

Na, kalbant apie pirmą punktą keistai atrodo lygbės $$\left | \sum_{k=n+1}^{n+p}k \sin \frac{1}{k^{4/3}} \right |=  \sum_{k=n+1}^{n+p}\left |k \sin \frac{1}{k^{4/3}} \right |=  \sum_{k=n+1}^{n+p}k \sin \frac{1}{k^{4/3}}$$

ta prasme, pirma lygybė nereikalinga, nes tu jau pasinaudoji, tuo kad sumos dėmenys yra teigiami vien užrašydamas tą lygybę.

Esu aprašęs savo uždavinio sprendimą ir beveik baigęs spręsti šio uždavinio sprendimą, tik dar vis neprisiruošiu pabaigti. Mano galva, įmanoma apseiti ir be tiek formalizmo.

Kadangi $\lim_{n \to \infty}na_n=L$, tai egzistuoja $N:na_n≥L/2$, kai $n≥N$. Tada $\sum_{k=N}^{\infty}a_n  ≥ L/2 \sum_{k=N}^{\infty}1/n=\infty$.

Prisiminiau ir aš pirmą kursą. Tikiuosi nesuklydau nieko.

Tada a_n padaugini iš -1. Sutinku, reikėjo pradėti nuo „wlog L>0“.

Taip, without loss of generality. Gerai, pilnas sprendimas.

Nemažinant bendrumo, tarkime $L>0$ (kitu atveju dauginame seką $a_n$ iš $-1$.
Kadangi $\lim_{n \to \infty}na_n=L$, tai egzistuoja $N:na_n≥L/2$, kai $n≥N$. Tada $\sum_{k=N}^{\infty}a_n  ≥ L/2 \sum_{k=N}^{\infty}1/n=\infty$.

Sorry, nebuvau perskaitęs taisyklių. Pateiksiu paprastą, bet man labai patikusį uždavinuką iš sekų.

Tarkime, kad seka $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ tenkina nelygybę $0\leq a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}$ visiems $m,n\in N$. Įrodykite, kad riba $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n}$ egzistuoja.

Pagal maratono taisykles, aš irgi turėjau paskelbti savo neišspręsto uždavinio sprendimą.

Raskite visas galimas skaitmenų sumas tokio natūraliojo skaičiaus, kuris dalijasi iš 7.

Sprendimas verbunai uždaviniui (sekos $x_n$ viršutinę ribą žymėsim $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty}x_n$, o apatinę - su brūkšneliu apačioje).
Fiksuokim $m\in\mathbb{N}$. Kiekvieną $n\in\mathbb{N}$ padalinkime su liekana iš $m$. Gausime $n=mq+r$, kur $q$ ir $r$ yra natūralieji skaičiai, priklausantys nuo $n$, be to $r<m$ su visais $n$. Turime, kad $q\rightarrow\infty$, kai $n\to\infty$. Remiantis duota nelygybe galime įsitikinti, kad $a_n=a_{mq+r}\leq qa_m+a_r$, todėl $\frac{a_n}{n}\leq \frac{q}{n}a_m+\frac{a_r}{n}$. Turime, kad
$$\frac{q}{n}=\frac{q}{mq+r}=\frac{1}{m+\frac{r}{q}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{m}.$$
Be to, pagal duotą nelygybę, $a_r\leq ra_1$, taigi
$$0\leq\frac{a_r}{n}\leq\frac{ra_1}{n}<\frac{ma_1}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\Rightarrow \frac{a_r}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$
Taigi
$$\varlimsup_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}\leq \frac{a_m}{m}\Rightarrow \varlimsup_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}\leq\inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m},$$
nes $m\in\mathbb{N}$ galime pasirinkti bet kokį. Be to kiekvienam $n$
$$\frac{a_n}{n}\geq\inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m}\Rightarrow\varliminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}\geq\inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m},$$
taigi
$$\inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m}\leq \varliminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}\leq\varlimsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}\leq \inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m}\Rightarrow \varliminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\varlimsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}= \inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m}.$$
Kadangi sekos $\frac{a_n}{n}$ viršutinė ir apatinė ribos sutampa, tai ši seka konverguoja (ir jos riba lygi $\inf_{m\in\mathbb{N}}\frac{a_m}{m}$).

P.S.: Verbunai, šiame forume šio uždavinuko nevadinčiau paprastu.

Super, Jadvyga! Gražiai surašyta :) Na, o dėl mano to „paprastas“, tai taip. Tiesiog nenorėjau iškart išgąsdinti. Nėra čia lengvas uždavinys, dalis VU MIF studentų tokio neįveiktų nė per kur.

Uždavinukas: duota mažėjanti teigiamų skaičių seka ${c_n}$. Įrodykite, kad seka $$S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}c_k,\; n=1, 2, \ldots,$$
yra aprėžta.

P. S.: Jei jau apie VU MIF, tai Jadvyga kožną vakarą poterėlį sukalba, kad MIF'e ir studentai, ir dėstytojai mažumėlę pasitemptų.