eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Matematikos Maratonas Nr. 3


Gerai

Neatsisakysiu malonumo pasidalinti vienu gražiu uždavinuku :)
Uždavinukas iš dviejų dalių.
a) Tarkime $a, b, c\in\mathbb{R}$ - trys (paporiui) skirtingi skaičiai. Parodykite, kad $\forall x\in\mathbb{R}
$ teisinga lygybė
$$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}=1.$$
b) Tarkime $n\in\mathbb{N}$. Trupmeną
$$\frac{1}{(x-1)(x-2)\dotsb (x-n)}$$
išdėstykite pavidalu
$$\frac{1}{(x-1)(x-2)\dotsb (x-n)}=\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{x-2}+\dotsb+\frac{A_n}{x-n},$$
t.y. raskite koeficientus $A_1, A_2, \dotsc, A_n$.

pakeista prieš 5 m

a) Dalis gali susilaukti kontraversijų. Pavyzdžiui aš galiu pasakyti, jog nesunkiai matau, jog kairėje yra kvadratinis daugianaris $x$ atžvilgiu ir matau netgi tris taškus, kuriuose jis sutampa su 1: $a$, $b$ ir $c$. Man iš to būtų aišku, jog toksai daugianaris sutampa su 1 ne tik trijuose taškuose, tačiau ir visuose likusiuose. Tik nežinau, ar tam būtinas griežtesnis paaiškinimas.

Manau toks paaiškinimas būtų pakankamas, nes čia turbūt visi ponai profesionalai žino teiginuką, kad jei $n$-tojo laipsnio polinomas lygus nuliui daugiau nei $n$ taškuose, tai jis tapatingai lygus nuliui.
-------
Jeigu ką, a) ir b) dalys neveltui sudėtos į vieną uždavinį :)

pakeista prieš 5 m

Manau daug kas priklauso nuo to, kaip žiūrime į matematiką. Štai aš tą teiginį galiu įsivaizduoti vizualiai: jei polinomo vyriausiasis narys yra $x^n$, tai jis yra vienintelis toks, kuris turi $n$ išvardytų konkrečių šaknų. Tačiau jei vyriausiasis narys yra kitoks, tarkim $ax^n$, tai polinomas yra ištemptas pagal $x$ ašį vertikalia kryptimi a kartų. Šiuo atveju $n$ šaknų nurodo tik jo polinomo grafiko eskizą, bet ne kaip tas eskizas vertikaliai ištemptas. Tam, kad nustatytumėme, kiek ištemptas eskizas, reikia sužinoti bent vieną kitą (tarp polinomo šaknų nesantį) tašką, per kurį eina polinomas.

Kitas paklaustų, kokiomis matematinėmis aksiomomis ar teoremomis remiantis įvardytas faktas yra teisingas. Tada gautųsi įdomi situacija, kad neaišku, kaip užtenka grįsti matematinius teiginius: ar remiantis mintiniais - vaizdiniais eksperimentais, ar taikyti griežtus įrodymo metodus. O kaip šiuo atveju?

Dabar skaitau įdomią knyga D. Tall ,,How humans learn to think mahematically", kurioje tvirtina, kad gebėjimas griežtai įrodyti teiginį yra tik paskutinė matematinio supratimo apie kokią nors matematikos sąvoką fazė, kuri nebūtų išivysčius, jei iš pradžių nebūtų sukurtas sąvokos mintinis vaizdinys, o vėliau patirtas vykdant su juo įvairias algebrines operacijas. Todėl manau esant šiek tiek neteisinga šį maratoną padaryti prieinamą tik ponams profesionalams, kurie diskutuoja tokiomis temomis, kurios paprastiems moksleiviams gali jokio vaizdinio neįgyti net domintis :D.

Tai buvo tik pedagogiškas pavyzdys, primenantis, kad gerai išmanantiems matematiką yra didelė grėsmė atbaidyti nuo matematikos tuos, kurie tik žengia pirmuosius žingsnelius. Norint perduoti susidomėjimą matematiką reiktų įvertinti, kad kalbėdami apie ją formaliai, o ne vizualiai (ar su kitokiais įprasminimais) galime visiškai nesuteikti įsivaizdavimo kitiems norintiems ją suprasti.

pakeista prieš 5 m

b) dalį užbaigčiau taip:

Padauginkime pateiktą išraišką iš vardiklio $(x-1)(x-2)...(x-n)$. Gausime:
$$1=A_1(x-2)...(x-n)+A_2(x-1)(x-3)...(x-n)+...+A_n(x-1)(x-2)...(x-(n-1)).$$
Pavadinkime $P(x)$ dešinę pusę. Nesklandumas kyla, nes $x-1$, $x-2$, ..., $x-n$ negali būti nuliniai. T.y. $x$ negali įgyti reikšmių $1,2,...,n$. Vis dėlto tai ne bėda. Daugianaryje $P(x)$ kintamojo $x$ reikšmę galime ne prilyginti, o artinti į $1,2,...,n$. Kiekvienu atveju turėsime, kad tik vienas iš daugianario išraiškoje esančių dėmenų neartės į 0:

$\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to 1}=A_1(-1)(-2)...(1-n)\\ \displaystyle\lim_{x\to 2}=A_2\cdot 1\cdot(-1)(-2)...(2-n)\\ \displaystyle \lim_{x\to 3}=A_3\cdot 2\cdot 1(-1)(-2)...(3-n)\\ \vdots \\ \displaystyle \lim_{x\to n}=A_n(n-1)(n-2)...\cdot 1\end{array}$

Kadangi visos šios ribos lygios 1, tai prilyginę šias ribas 1 gautume $A_1$, $A_2$, ... $A_n$, kurių ieškome. Jas pateiksiu suprantamesniu būdu:

Kiekvienam $k\in [1;n]$ koeficientas $A_k$ lygus 1, padalytam iš sandaugos visų nenulinių sveikųjų skaičių intervale [$k-n$; $k$)

pakeista prieš 5 m

Na, čia galima apsieit ir be ribų. Iš autoriaus pateikto uždavinio a) dalies galime spėti, kad gal egzistuoja tapatybė bendresniam atvejui, kai yra ne trys skirtingi skaičiai, o n. Na, ištikrųjų, jei paimsim n skirtingų skaičių a_1, ..., a_n ir užrašysim polinomą:
$$p(x)=\sum_{k=1}^n\prod_{i=1,\\i\neq k}^{n}\frac{(x-a_i)}{(a_k-a_i)}-1,$$
kurio vyriausias laipsnis nedidesnis nei n-1, o šaknų skaičius nemažesnis nei n, gausime
$$\sum_{k=1}^n\prod_{i=1,\\i\neq k}^{n}\frac{(x-a_i)}{(a_k-a_i)}\equiv1.$$
Iš gautos tapatybės iškart seka b) dalies ats: jei A_k - koeficientas prie $\frac{1}{x-k}$, tai
$$A_k=\prod_{i=1,\\i\neq k}^{n}\frac{1}{(k-i)}.$$

pakeista prieš 5 m

Tamstelės, noriu tarti keletą žodžių.

Pirmas dalykas - leliaus sprendimas yra man labiau prie širdies, o vat ties mathfux sprendimu man dar reiktų truputį pamedituoti, pagvildenti, nes kol kas aukščiausioji aiškumo palaima skaitant šį sprendimą man dar širdelės neužliejo.

O dabar antras dalykėlis. Tamstos mathfux ilgajame komentare jaučiu tam tikrą kritikos gaidelę, kuri mane skatina suregzti kokį nors atsakymą. Taigi aš pritariu tamstos mathfux pasisakymo tam tikriems postulatams (ypač paskutinei pastraipėlei, kuri, drįsčiau manyti, labai gerai paaiškina, kodėl, pvz, ne vienas žmogelis, įstojęs į VU MIF matematiką, po kelių metų daugiau nebenori su mokslų karaliene matematika santykiauti). Taip pat pritariu ir samprotavimams apie matematikos griežtumą ir to griežtumo svarbą irba nesvarbą (vat man čia norisi pasielgti lėkštai, ir dar sykį, kaip jau dariau neseniai kitoje temoje, pacituoti vieną matematiką, kuris pasakė šį bei tą jaunuoliui, persigandusiam dėl savo galvelės, kad šioji neišgimdo vaizdinių etc; taigi tas matematikas pasakė jaunuoliui, kad mes matematikos nesuprantam, o prie jos priprantam). Nors tamstelę mathfux papiktino mano kreipimasis į ponus profesionalus, bet nemanau, jog tas kreipimasis reiškia, kad aš kažkaip norėčiau nuo maratono nurašyti ir kitus forumo dalyvius (tarp kitko, man absoliučiai neaiški profesionalo statuso reikšmė ir paskyrimo tvarka; aš šį statusą kažkodėl tai užsidirbau pakeverzojus vos per 30 komentarų, tuo tarpu kiti, jei gerai suprantu, šį statusą gauna už ilgalaikį, kilniaširdišką ir alinantį darbą prusindami, šviesdami ir visokeriopai auklėdami jaunimą, užklystantį į šį forumčiką). Taigi, ponai profesionalai irba neprofesionalai, mėgėjai, prijaučiantys irba neprijaučiantys, nežinau, ką norėjau pasakyti; gal norėjau tik patikinti mathfux, kad tarp jo pasisakymo ir mano pažiūrų nėra didelio idėjinio konflikto.

Belieka spręsti toliau uždavinukus, taigi ponuliai mathfux ir leliau, nutarkit, kuris keliate naują uždavinį.

Keli komentarai dėl mano sprendimo. Sprendimas susidėjo iš trijų etapų: pertvarkyti tai, kas duota, skaičiuoti įvardytas ribas ir atsakymą prieiti iš skaičiavimo rezultatų. Mano sprendimo kelias iš tiesų buvo pavojingas. Pirma, pertvarkant duotą lygybę turime atsižvelgti į joje esančių reiškinių apibrėžimo sritį. Antra, aš numačiau, kad pertvarkytoje lygybėje paėmus ,,draustinas" reikšmes $1,2, ..., n$ turėtume gauti būtent tokias lygybes, iš kurių galima gauti $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$. Kadangi reikšmės draustinos, mano sprendimas užskaitytas būti neturėtų.

Vis dėlto čia gelbsti išeitys (angl. met-befores), kurias aš tokiais atvejais buvau pastebėjęs prieš tai spręsdamas šio maratono uždavinius. Atsiminiau, kad tokiais atvejais reikėtų ,,draustinų" reikšmių parinkimą pakeisti perėjimu prie ribos. Todėl uždavinio architektūra, prieš tai buvusi gana primityvoka, tokia ir išliko, tik vaizdžiai tariant, su nedideliu prierašu, kad reikia pereiti prie ribos.

Deja, tą perėjimą prie ribos, kurio konceptas daugeliui mokinių būtų ir taip miglotas, padariau neprofesionaliai, nes ne visai aiškiai apibūdinau, kokiu tikslu reikėjo iš viso statyti reikšmes $1,2,..,n$ ar pereiti prie ribos. Be to nesileidau į algebrinių operacijų detalizavimą, kaip gaunami galutiniai rezultatai. To pasekmėje mano sprendimas tapo sunkiau išgvildenamu net ir nusimanantiems. Taigi, gyvename ir mokomės.

Aš kol kas dirbu prie paprastesnės matematikos aktualijų, tai leidžiu perimti iniciatyvą leliui, kuris dažnai pasiūlo dėmesio vertų uždavinių. Na, o jei pas jį nekyla idėjų, tai prisiminęs olimpiadas galiu įkelti kokią simetrinę nelygybę arba funkcinę lygtį, tik tiek, kad sprendžianti auditorija bus ribota, nes tokie žanrai negvildenami nei mokykloje, nei universitete

Šioje temoje naujų pranešimų rašymas yra išjungtas!