Matematikos Maratonas Nr. 4

Leliau, būtų įdomu pamatyti šio uždavinio sprendimą.

Apskaičiuokite determinantą
$$
\begin{vmatrix}
1+x_1y_1 & x_1y_2 & \ldots & x_1y_{n-1} & x_1y_n\\
x_2y_1 & 1+x_2y_2 & \ldots & x_2y_{n-1} & x_2y_n\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\
x_{n-1}y_1 & x_{n-1}y_2 & \ldots & 1+x_{n-1}y_{n-1} & x_{n-1}y_n\\
x_ny_1 & x_ny_2 & \ldots & x_ny_{n-1} & 1+x_ny_n
\end{vmatrix}
$$

Patogumo dėlei, pasižymėkim [tex]x_0y_0=1.[/tex]

Tarkim, $$D_n=\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 & x_1y_2 & \ldots & x_1y_{n-1} & x_1y_n\\ x_2y_1 & 1+x_2y_2 & \ldots & x_2y_{n-1} & x_2y_n\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ x_{n-1}y_1 & x_{n-1}y_2 & \ldots & 1+x_{n-1}y_{n-1} & x_{n-1}y_n\\ x_ny_1 & x_ny_2 & \ldots & x_ny_{n-1} & 1+x_ny_n \end{vmatrix}.$$
Tada, $$D_n=\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 & x_1y_2 & \ldots & x_1y_{n-1} & x_1y_n\\ x_2y_1 & 1+x_2y_2 & \ldots & x_2y_{n-1} & x_2y_n\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ x_{n-1}y_1 & x_{n-1}y_2 & \ldots & 1+x_{n-1}y_{n-1} & x_{n-1}y_n\\ x_ny_1 & x_ny_2 & \ldots & x_ny_{n-1} & 1+x_ny_n \end{vmatrix}=D_{n-1}+\begin{vmatrix} 1+x_1y_1 & x_1y_2 & \ldots & x_1y_{n-1} & x_1y_n\\ x_2y_1 & 1+x_2y_2 & \ldots & x_2y_{n-1} & x_2y_n\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ x_{n-1}y_1 & x_{n-1}y_2 & \ldots & 1+x_{n-1}y_{n-1} & x_{n-1}y_n\\ x_ny_1 & x_ny_2 & \ldots & x_ny_{n-1} & x_ny_n \end{vmatrix}=D_{n-1}+|A_n|,$$ kur [tex]A_n[/tex] - matrica. Nesunkiai galime įsitikint, kad $$A_n=\begin{pmatrix} x_1 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ x_2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ x_{n-1} & 0 & \ldots & 0 & 1\\ x_n & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & \ldots & y_{n-1} & y_{n}\\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix}=B_n\cdot C_n.$$ Nesunkiai randam determinantus [tex]|B_n|[/tex] ir [tex]|C_n|[/tex]: $$|B_n|=(-1)^{n+1}x_n, \;\;\; |C_n|=(-1)^{n+1}y_n.$$ Iš to seka [tex]|A_n|=x_ny_n[/tex] ir [tex]D_n=D_{n_1}+x_ny_n[/tex] t.y. $$D_n=D_1+\sum_{k=2}^nx_ky_k.$$ Kadangi [tex]D_1=1+x_1y_1[/tex], tai $$D_n=\sum_{k=0}^nx_ky_k.$$

Teisingai

Norėčiau praleist ėjimą.

Išspręskite lygčių sistemą kompleksiniais skaičiais
\begin{gather*}
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=0\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\\
x_1^3+x_2^3+x_3^3=24.
\end{cases}
\end{gather*}