Matematikos Maratonas Nr. 4

Matematikos maratono taisyklės:
• Žmogus išsprendęs uždavinį turi įdėti naują.
• Turi būti parašyti sprendimai, formulės, nubrėžti reikalingi grafikai, o ne vien parašyti atsakymai.
• Kadangi čia olimpiadų skiltis, todėl uždaviniai turi būti sudėtingi, reikalaujantys žinių.
• Jeigu uždavinio niekas neįveikia per tris dienas, sprendimą pateikia autorius.
• Jei autorius po trijų dienų nepateikia sprendimo, tai naują uždavinį gali įkelti bet kas norintis.

Raskite sumą:
$$\sum_{k=1}^n \Big[\frac{2^k}{3}\Big]$$

Turime, kad
$$\sum_{k=1}^n\bigg[\frac{2^k}{3}\bigg]=\sum_{k=1}^n\bigg(\frac{2^k}{3}-\bigg\{\frac{2^k}{3}\bigg\}\bigg)=\frac{2\cdot (2^n-1)}{3}-\sum_{k=1}^n\bigg\{\frac{2^k}{3}\bigg\},$$
čia riestiniai skliaustai žymi skaičiaus trupmeninę dalį.

Pastebėkim, kad
$$2^k\equiv (-1)^k\equiv
\begin{cases}
1\pmod{3},\text{ jei }k\text{ - lyginis},\\
-1\equiv 2\pmod{3},\text{ jei }k\text{ - nelyginis.}
\end{cases}$$

Taigi, jei $n$ - lyginis, tai
$$\sum_{k=1}^n\bigg\{\frac{2^k}{3}\bigg\}=\underbrace{\bigg(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\bigg)+\dotsb+\bigg(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\bigg)}_{\frac{n}{2}\text{ kartų}}=\frac{n}{2},$$
o jei $n$ nelyginis, tai
$$\sum_{k=1}^n\bigg\{\frac{2^k}{3}\bigg\}=\underbrace{\bigg(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\bigg)+\dotsb+\bigg(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\bigg)}_{\frac{n-1}{2}\text{ kartų}}+\frac{2}{3}=\frac{n}{2}+\frac{1}{6}.$$
Iš čia
$$\sum_{k=1}^n\bigg[\frac{2^k}{3}\bigg]=
\begin{cases}
\frac{2^{n+1}-2}{3}-\frac{n}{2},\text{ jei }n\text{ - lyginis},\\
\frac{2^{n+1}-2}{3}-\frac{n}{2}-\frac{1}{6},\text{ jei }n\text{ - nelyginis}.
\end{cases}
$$

Gerai, tik pastebėjimas, kad norint apsieit be skliausto, sumą galime užrašyti taip:
$$\sum_{k=1}^n\bigg[\frac{2^k}{3}\bigg]=\frac{2^{n+1}-2}{3}-\frac{n}{2}-\frac{1-(-1)^n}{12}$$

Įrodykite, kad skaičius
$$5^{12}+2^{10}$$
yra sudėtinis.

$5^{12}+2^{10}=125^4+4\cdot 4^4$ yra formos $a^4+4b^4$. Visi tokios formos skaičiai gali būti išskaidyti:

$a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$

Šiuo atveju $a=125$, $b=4$, abu daugikliai yra didesni už 1.

Gerai.

mathfux, naujas uždavinys bus?

Turiu uždavinį, kuriam esu aprašęs du sprendimus: vieną olimpiadinį, kitą universitetinį. Jei pateiksite bent vieną sprendimą, vis tiek įkelsiu ir likusį sprendimo variantą.

Duota, jog realieji skaičiai tenkina lygybę $xy^3z^2=16$. Raskite mažiausią reiškinio $x^2+y^2+z^2$ reikšmę.

Kadangi reiškinio [tex]x^2+y^2+z^2[/tex] min. nepriklauso nuo nežinomųjų ženklų, tai, nemažindami bendrumo, tarkime [tex]x,y,z>0[/tex].

Olimpiadinis sprendimas:

[tex]x^2+y^2+z^2=x^2+\frac{y^2}{3}+\frac{y^2}{3}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{2}+\frac{z^2}{2}\geq6\sqrt[6]{\frac{x^2y^6z^4}{27*4}}=4\sqrt{3}[/tex]. Tariamas minimumas pasiekamas taške [tex]x=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}}, y=\sqrt{2\sqrt{3}}, z=\sqrt{\frac{4\sqrt{3}}{3}}[/tex]. Iš tikrųjų, remiantis faktu, kad A-G vidurkių nelygybė virsta lygybe, kai nežinomieji yra tarpusavyje lygūs t.y. [tex]x^2=\frac{y^2}{3}=\frac{z^2}{2}[/tex], išspendę lygtį $6x^2=4\sqrt{3}$, radę likusius nežinomuosius, patikrine reikšmes lygybėje [tex]xy^3z^2=16[/tex], įsitikiname, kad tariamas minimumas yra pasiekiamas.
Ats.: $4\sqrt{3}$