Matematinis mąstymas. Matematinių sąvokų supratimas ir vartojimas

Gebėjimas suprasti ir vartoti matematines sąvokas

Nagrinėjant kokį nors matematinį objektą, būtina tiksliai nurodyti jo rūšį (kas tai yra?) ir rūšinį požymį (kuo skiriasi ir kuo panašus šis objektas į kitus tos pačios rūšies objektus?). Tam, kad tai pavyktų, siūlau nagrinėjimą skaidyti į šias dalis:
[tex]\boxed{\text{Kas tai yra?}}[/tex]
$\boxed{\text{Rūšinio požymio tikslinimas}}$
$\boxed{\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas: ar rūšis tikrai nurodyta teisingai?}}$
$\boxed{\begin{array}{l}\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas:}\\ \text{veiksmų, atliekamų su objektu, aiškinimas pagal rūšinį požymį} \end{array}}$
$\boxed{\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas: raktinių žodžių kiekis ir sudėtingumas}}$
$\boxed{\text{Apibrėžimo tinkamumo palyginimas: pasitikrinimas įvairiuose šaltiniuose}}$

Čia pateiksiu aritmetinės progresijos nagrinėjimo pavyzdį.

[tex]\boxed{\text{Kas tai yra?}}[/tex] Aritmetinė progresija - tai seka.

$\boxed{\text{Rūšinio požymio tikslinimas}}$

1. Aritmetinė progresija - tai seka, kuri didėja.

• Apibr. per siauras, nes ji gali ir mažėti, pvz. 1, 0, -1, -2, -3, -4

2. Aritmetinė progresija - tai seka, kuri didėja arba mažėja

• Apibr. per platus, nes ne visos sekos tinka: seka $\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$ nėra laikoma aritmetine progresija.

3. Aritmetinė progresija - tai seka, kuri didėja arba mažėja vienodai.

• Apibr. per platus, nes didėjimas arba mažėjimas gali būti dvejopas: kažkokiu skaičiumi arba kažkokiu kiekiu kartų. Pvz. $\{2, 4 ,6 ,8,10,\dots\}$ būtų gerai, bet $\{2, 4 ,8 ,16,32,\dots\}$ būtų blogai.

4. Aritmetinė progresija - tai seka, kuri didėja arba mažėja kažkokiu skaičiumi

• Apibr. tikslus, bet painus. Dažnas gali painioti, kuo skiriasi didėjimas kažkokiu skaičiumi arba kažkiek kartų, įsivaizduoti, kad tas skaičius arba kiekis gali būti tik netrupmeninis.

5. Aritmetinė progresija - tai seka, kuri didėja arba mažėja pastoviu skirtumu

• Apibr. tikslus, bet painus, nes galima pasimesti, kieno tai skirtumas. Kalbama apie sekos didėjimą ir mažėjimą, o po to pereinama prie skirtumo, kuris gali būti tik sekos narių.

6. Aritmetinė progresija - tai seka, kurios nariai didėja arba mažėja pastoviu skirtumu.

• Šį apibr. laikysime tinkamu. Žinoma, norėtųsi patikslinti, kad kalbama būtent apie gretimų, o ne bet kurių narių skirtumą, tačiau pats didėjimas ir mažėjimas yra netiesioginė nuoroda į gretimų narių lyginimą (skirtumo radimą). Dėl panašių atvejų formuluojant apibrėžimus yra sunku pasiekti visišką lankstumą (ir tikslumą, ir aiškumą).

$\boxed{\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas: ar rūšis tikrai nurodyta teisingai?}}$

Tikriname: seka - tai sunumeruotų objektų rinkinys, kuriame objektai gali pasikartoti (angl. Vikipedija). Vadinasi, aritmetinė progresija tikrai yra seka.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas:}\\ \text{veiksmų, atliekamų su objektu, aiškinimas pagal rūšinį požymį} \end{array}}$

Su aritmetine progresija įprasta atlikti šiuos veiksmus: rasti jos narių kiekį, $n$- tąjį narį, narių sumą, gretimų narių skirtumą. Šie veiksmai neprieštarauja apibrėžimui. Rūšinis požymis nariai didėja arba mažėja vienodu skirtumu nurodo, kad visi įvardinti veiksmai gali būti atliekami maždaug taip: iš pradžių žinomi pirmi du nariai, po to randamas jų skirtumas, kurį panaudojant galime rasti trečią narį, ketvirtą narį ir t.t.  Taip galime rasti norimą kiekį narių, o taip pat ir jų sumą.

Vadinasi, apibrėžimas yra lankstus tuo požiūriu, kad jame atsispindi nuorodos į veiksmus, kuriuos galime atlikti su apibrėžiamu matematiniu objektu (aritmetine progresija).

$\boxed{\text{Apibrėžimo lankstumo įvertinimas: raktinių žodžių kiekis ir sudėtingumas}}$

Apibrėžime paminėti raktiniai žodžiai: seka, nariai, didėja, mažėja, pastovus, skirtumas. Jie turi būti ne buitiniai, o matematiniai ir nedviprasmiški. Pageidautina, kad apsieitume su kuo mažiau tokių žodžių ir išlaikytume apibrėžimo prasmę. Šiame apibrėžime žodžių daugoka, tačiau matysime, kad angliškoje Vikipedijoje jų kiekis panašus.

$\boxed{\text{Apibrėžimo tinkamumo palyginimas: pasitikrinimas įvairiuose šaltiniuose}}$

Pastaba: patikimiausiu šaltiniu patariu laikyti anglišką Vikipediją.
• Angliškoje Vikipedijoje rašoma, kad aritmetinė progresija - tai seka, kurios gretimų narių skirtumas yra pastovus.
• Lietuviškoje Vikipedijoje rašoma, kad aritmetinė progresija - tai tokia skaičių seka, kurios skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus.
• Vadovėliuose Matematika Tau +, Matematika 11 ir ALGEBRA 9-10 beveik vienodai rašoma, kad aritmetinė progresija - tai seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančio ir to paties skaičiaus $d$ sumai.

Rinkdamas šį straipsniuką stengiausi kuo tiksliau nusakyti, kokie mano supratimu turėtų būti matematinių sąvokų apibrėžimo kriterijai. Dalį medžiagos ėmiau iš vadovėlio, skirto pedagogams. Kitą dalį medžiagos suformulavau remdamasis savo bendra patirtimi apie mąstymo procesus. Kyla klausimas, kodėl taip svarbu tinkamai vartoti matematines sąvokas. Mano atsakymas būtų: gebėjimas komunikuoti yra labai svarbus žmonėms, turintiems skirtingą patirtį. Ypač mokiniui ir mokytojui.

Be to gebėjimas vartoti matematines sąvokas yra suderintas su smegenų veikla. Tą pailiustruosiu pateikdamas ištrauką iš psichologijos vadovėlio:

Pasak Piaget, intelekto pažangos varomoji jėga yra mūsų nuolatinės pastangos suprasti pasaulį. Pagrindinė jo idėja - „vaikai aktyviai mąsto, nuolat stengdamiesi vis sudėtingesniais būdais suprasti pasaulį" (Siegler ir Ellis, 1996). Tam bręstančios smegenys kuria sąvokas, kurias Piaget vadino schemomis. Schemos yra psichikos šablonai, kuriuos užpildome savo patirtimi. Suaugęs žmogus jau yra susidaręs galybę schemų, pradedant žinojimu, kas yra šuo ar katė, baigiant supratimu, ką reiškia būti įsimylėjusiam.

Piaget pasiūlė dvi sąvokas, paaiškinančias, kaip naudojame ir pritaikome schemas. Pirma, mes asimiliuojame naują patyrimą - aiškinamės jį pagal tas schemas, kurias jau turime. Pavyzdžiui, vaikas, turėdamas paprastą šuns schemą, gali visus keturkojus vadinti šuniukais. Taip pat mes pritaikome, arba akomoduojame, savo schemas, kad jos tiktų naujų potyrių detalėms. Vaikas greitai supranta, kad jo šuniuko schema yra per plati, ir jis akomoduoja ją, patikslindamas kategoriją (pastebėta, kad daugiausia dėmesio vaikas skiria galvai). Sąveikaudami su pasauliu, vaikai konstruoja ir keičia savo schemas.

Būtinai rašykite, jei pastebėjote netikslumų ar turite papildymų.

Iš angliškoje vikipedidoje pateikto apibrėžimo seka, kad aritmetinės progresijos skirtumas gali būti lygus 0. Iš tavo pateikto apibrėžimo akivaizdžiai seka, kad skirtumas negali būti lygus 0.

Taip, iš tiesų. Kadangi 0 irgi laikome skaičiumi, tai pagal visus mano nurodytus lietuviškus matematinius vadovėlius reikėtų pastovių skaičių sekas taip pat laikyti aritmetinėmis progresijomis. Vadovėlyje Matematika Tau + yra netgi įvardyta, kad aritmetinės progresijos, kurių skirtumas lygus 0, ten neneagrinėjamos. Vadinasi, aš iš tiesų pateikiau apibrėžimą, kuris esmingai skiriasi nuo siūlomų įvairiuose šaltiniuose. Pavojaus signalas!

Tačiau nenorėdamas vien pasikliauti tais šaltiniais per Google paieškojau, ar nekyla pasaulyje diskusijų šiuo klausimu ir radau įdomų atsakymą gan prestižiškai atrodančiame portale. Čia pateiksiu to atsakymo vertimą į lietuvių kalbą:

Pagal susitarimą matematinėje kalboje apibrėžiant sąvoką pagal nutylėjimą yra priimtina įtraukti trivialius (*) atvejus, o tada, kai norime nurodyti, kad jie yra neįtraukti, pridedame nurodomuosius būdvardžius netrivialus arba, kaip šiuo atveju, (kalbant apie seką) nepastovus.

(*) Išimtys pasitaiko, kai trivialūs atvejai reikalauja atskiro nagrinėjimo didesnėje dalyje teoremų, kuriose sąvoka vartojama. Pavyzdžiui Van der Waerden'o teoremoje ir jos apibendrinimuose.

Natūraliai kyla klausimas, kaip pasiekiamas tas susitarimas. Galbūt yra kokios nors informacijos apie jį? Krinta į akis, jog šio forumo lankytojas Sokolovas dažnai kalba apie frazes, kurių jokiu būdu negalima vartoti matematinėje kalboje. Pavyzdžiui žodis VISADA nevartotinas tokiuose teiginiuose kaip nelygybė VISADA teisinga ir kvadratas VISADA neneigiamas. Gal pats Sokolovas galėtų pakomentuoti, kokia patirtimi remiantis prieinamos tokios išvados? Ar šias žinias galime priskirti savaiminiam matematiniam išsilavinimui, ar iš tikrųjų yra kokių šaltinių, kuriuose atsispindėtų panašios matematinės kalbos vartojimo taisyklės?

Matematinių sąvokų suvokimo ir vartojimo prasmė

Iš diskusijų apie trikampių panašumą ir apie vektorius čia ir čia galime susidaryti įspūdį, kad daugybės nesusikalbėjimų dėl uždavinių arba įvairių temų sunkumo priežastimi yra nepakankamai išlavintas gebėjimas suprasti ir vartoti matematines sąvokas. Norėčiau plačiau pakomentuoti, kodėl šis gebėjimas yra toks svarbus.

Gebėjimas suprasti ir vartoti matematines sąvokas padeda ne tik išvengti daugybės nesutarimų komunikuojant keliems žmonėms, bet ir išvengti nesutarimų su savimi. Šiais nesutarimais su savimi aš laikau prieštaringus įsitikinimus, kurie yra tarsi statybinė medžiaga, sutvirtinanti didelį vidinės matematikos statinį. Kiekvienas iš mūsų neišvengiamai turi tam tikrą dalį prieštaringų įsitikinimų ir tam tikrą dalį teisingų įsitikinimų. Šie įsitikinimai yra nuolat tikslinami. Tačiau jei prieštaringų įsitikinimų kiekis kažkuriuo momentu tampa per dideliu palyginus su teisingų įsitikinimų kiekiu, statinys ima griūti: prarandamas noras mokytis matematiką. Dabartinei besimokančiųjų kartai išsivystęs nenoras mokytis matematiką yra kaip niekad didelis. Aš manyčiau, kad tai įvyko didžiąja dalimi ne dėl jų tingumo ar bukumo, tačiau dėl mokyklinio matematikos turinio, kuris nėra pritaikytas konstruoti patvarų vidinės matematikos statinį. Mokyklinėje matematikoje yra per daug tarpusavyje nesusijusių faktų ir per mažai juos susiejančių loginių ryšių.

Klausimų, skirtų patikrinti matematinių sąvokų išmanymą dabartiniame mokykliniame kurse beveik nėra. Todėl belieka pasiūlyti čia užsukantiems moksleiviams ir mokytojams šį gebėjimą įsivertinti patiems savo nuožiūra.