eMatematikas.lt
Testai Forumas Prisijungti        

Olimpiadinis uždavinys

Olimpiados Peržiūrų skaičius (41622)

Neužtenka vien atspėti sprendinio: reiktų parodyti, kad tokie trikampiai yra vieninteliai, kurie tenkina duotąsias lygtis. Galbūt galima tai parodyti.

Aš pats nematau trumpo sprendimo, bet matau grynai mechanišką sprendimą, kuriame galvoti nelabai ir reikia. Reikia žinoti Herono formulę: trikampio plotas yra

[tex]A = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}.[/tex]

Žinome, kad a+b+c = 12, taigi reikia apskaičiuoti (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c). Aš rašysiu ∑a³ = a³+b³+c³ ir ∑a²b = a²b + a²c + b²c + b²a + c²b + c²a. Atskliaudžiame:

(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = -∑a³ + ∑a²b - 2abc

(triukas atskliaudžiant: žinome, kad viskas bus simetriška, taigi užtenka rasti koeficientą prie a³ ir tuomet tas pats koeficientas bus ir prie b³, ir prie c³, taip pat užtenka rasti koeficientą prie a²b ir tuomet tas pats koeficientas bus ir prie visų kitų formos x²y dėmenų).

Žinome, kad ∑a³ = 216, taigi reikia rasti ∑a²b ir abc.

600 = (a+b+c)(a²+b²+c²) = ∑a³ + ∑a²b = 216 + ∑a²b,

taigi ∑a²b = 384.

12³ = (a+b+c)³ = ∑a³ + 3∑a²b + 6abc = 216 + 3*384 + 6abc,

taigi abc = 60.

Dabar jau galime apskaičiuoti

(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = -216 + 384 - 2*60 = 48

A = 1/4 * √(12 * 48) = 6.

0

O mokykloj moko simetrinius daugianarius?

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!