Aš turiu galbūt įdomų pasiūlymą dėl šešiolikto uždavinio (nereiks skaičiuot išvestinės ir šiaip beveik nieko skaičiuot nereiks, bet reiks truputį pagalvot).
Mūsų nedomina abiejų eismo dalyvių padėtis plokštumoje - mus domina tik jų padėtis vienas kito atžvilgiu. Taigi mes tarsime, kad motociklininkas (iš taško A) nejuda ir atitinkamai pakeisime dviratininko (iš taško B) judėjimą, kad vektorius tarp jų būtų toks, koks turi būti. Kitaip sakant, kadangi motociklininko greičio vektorius yra (-30, 0), o dviratininko - (0, -10), tai mes galime tarti, kad motociklininkas nejuda, o dviratininkas juda greičiu (30, -10). Taip judėdamas dviratininkas keliauja tiesiu spinduliu iš taško B ir mes norime rasti, kuris šio spindulio taškas mažiausiai nutolęs nuo taško A.
Tegul tas taškas yra C. Žinome, kad tai yra statmenoji taško A projekcija į spindulį. Taip pat tegul D būna taško C statmenoji projekcija į AB. Kadangi žinome spindulio kryptį, tai galime pasakyti, kad (CD / BD = 10 / 30 ir) BC / BD = √(30² + 10²) / 30 = √10 / 3, taigi pagal trikampių CBD ir ABD panašumą
AB / BC = BC / BD BC = AB / (BC / BD) = 120 / (√10 / 3) = 4√10.
(Naujasis) dviratininkas per vieną valandą nuvažiuoja √(30² + 10²) = 10√10 kilometrų nuotolį, taigi jis pasieks tašką C per 4√10 / (10√10) = 0,4 valandos.
AncientMariner (+411)
Galima dar sutrumpinti skaičiavimus, jei rastume ne BC, o BD (t.y. ne atstumą tarp taškų B ir C, o tų taškų x koordinatės skirtumą) ir padalintume BD iš 30 (naujojo dviratininko greičio x ašyje).
pakeista prieš 13 m
Mirtise (+3503)
Rasti kampą B_1CM
Mirtise (+3503)
Raskite vektoriaus [tex]\vec{c}[/tex] ilgį jei [tex]\vec{c}= 2\vec{a}-3\vec{b}[/tex] o [tex]\vec{a}\left \{ 0;3;2 \right \}[/tex] ir [tex]\vec{b}\left \{ -2;3;2 \right \}[/tex]
įveiktas
pakeista prieš 13 m
Mirtise (+3503)
Raskite skaičiaus [tex]16^{8}-5^{31}\cdot 8^{13}[/tex] dalybos iš 3 liekaną
AncientMariner (+411)
Dėl uždavinio su liekanomis: jei skačių a ir a' bei b ir b' dalybos iš n liekana yra ta pati, tai ir skaičių ab ir a'b' dalybos liekana ta pati.
Dėl uždavinio su kampais: ar ten tikrai tokia sąlyga turi būti?
Mirtise (+3503)
nu dėl kampo, tai AA1 BB1 yra pusiaukraštinės. kampas AMB yra 136 ir viskas ;] o su liekanom nesupratau visvien :(
AncientMariner (+411)
AncientMarinerDėl uždavinio su liekanomis: jei skačių a ir a' bei b ir b' dalybos iš n liekana yra ta pati, tai ir skaičių ab ir a'b' dalybos liekana ta pati.
Šitas pasakymas reiškia, kad jei turime reiškinį, kuriame yra tik sudėties, atimties ir daugybos veiksmai, ir norime rasti jo dalybos iš kažkokio n liekaną, tai galime visus skaičius reiškinyje pasikeisti į mums patogius skaičius, tik svarbu nepamiršti, kad skaičių galime pakeisti tik į tokį, kurio dalybos iš n liekana ta pati.
Pavyzdžiui, jei reiktų rasti skaičiaus 173 * 994 paskutinį skaitmenį, tai sakytume, kad svarbus tik paskutinis skaitmuo: 3 * 4 = 12, todėl to reiškinio paskutinis skaitmuo yra 2. Ką mes padarėme ir yra tas triukas su n = 10: ieškome 173 * 994 dalybos iš 10 liekanos, todėl pakeičiame 173 į 3 ir 994 į 4 (nes šios poros turi vienodas dalybos iš 10 liekanas).
Pavyzdžiui, jei reiktų rasti 173 * 994 dalybos iš 9 liekaną, darytume taip: 173 pakeičiame į 2 (nes ta pati liekana dalinant iš 9), 994 pakeičiame į 4 (tas pats), o 2 * 4 = 8, taigi ir pradinio reiškinio liekana yra 8.
Kai turime reiškinius su laipsnio kėlimu, darome labai panašiai. Laipsnio kėlimas yra daugyba daug kartų, todėl galima pasikeisti laipsnio pagrindą (bet negalima pakeisti rodiklio). Kitaip sakant, jei norime rasti a^b dalybos iš n liekaną, tai galime pakeisti a į mums patinkantį a' (bet nekeičiame b), jei tik a ir a' dalinant iš n gauname tą pačią liekaną.
Pavyzdžiui, jei reiktų rasti 7^9 dalybos iš 5 liekaną, galėtume pasikeisti 7 į 2, ir tuomet 2^9 = 512 (mokame mintinai), todėl liekana 2.
Tavo uždavinyje gali pasikeisti 16, 5 ir 8 į ką nors patogiau.
AncientMariner (+411)
Mirtise Rasti kampą B_1CM
Manyčiau, kad buvo numatyta kitokia sąlyga. Pavyzdžiui, galbūt turėtų "matytis iš brėžinio", kad trikampis lygiašonis, arba ten ne pusiaukraštinės, o kokios pusiaukampinės. Bet jei turi tokią sąlygą, galima žiūrėti, ką iš jos pavyks išpešti.
Iš karto pasakysiu, kad šio uždavinio atsakymas yra "x laipsnių, kur x yra bet koks skaičius iš (0, u]". u yra skaičius, kurį galima rasti (parodysiu kaip), bet neatliksiu konkrečių skaičiavimų, kad jį gaučiau.
Darbuokimės koordinačių plokštumoje (man natūralesnė yra kompleksinių skaičių plokštuma, kurioje koordinačių plokštumos taškas (a, b) atitinka kompleksinį skaičių a + ib, bet šiam uždaviniui nėra skirtumo, ką naudojame). Neprarasdami bendrumo galime tarti, kad A = (-1, 0) ir B = (1, 0).
Pažiūrėkime, kur gali būti taškas M (pirma padėsime tašką M ir tada rasime, kur turi būti C, kad M būtų trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taškas). Vienintelė ribojanti sąlyga yra, kad kampas AMB lygus 136 laipsniams. Tai reiškia, kad M yra bet kuris taškas ant atitinkamo apskritimo, einančio per taškus A ir B, arkos (nes jei turime du taškus U ir V ir fiksuotą kampą t, visi taškai X, su kuriais kampas UXV lygus t, yra ant atitinkamo apskritimo arkos (prisiminkime apskritimo savybę, kad įbrežtiniai kampai, kurie remiasi į tą pačią arką, yra lygūs)).
Tas apskritimas eina per taškus (-1, 0) ir (1, 0), taigi jo centras yra kažkoks taškas (0, -v), kur v > 0 (centras galėtų būti ir (0, v), bet dėl patogumo nagrinėjame tik (0, -v)). Šio apskritimo spindulys bus R = √(v² + 1). Mes norime gauti, kad jei M = (x, y) yra ant šio apskritimo ir y > 0, tai kampas AMB yra 136 laipsniai. Kadangi kampas AMB remiasi į stygą AB, tai pagal sinusų teoremą AB / sin(136) = 2R, taigi R = 1 / sin(136). Iš čia randame v: v = √(R² - 1).
Trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo centras yra (A + B + C) / 3. Šiuo atveju A + B = (-1, 0) + (1, 0) = (0, 0), taigi M = C / 3, t.y. C = 3M. Kadangi M yra ant apskritimo, kurio centras (0, -v), o spindulys R, arkos su teigiama y koordinate, tai C yra ant apskritimo w, kurio centras (0, -3v), o spindulys 3R, arkos su teigiama y koordinate.
Tegul C_1 būna atkarpos AB vidurio taškas. Šiuo atveju paprasčiausiai C_1 = (0, 0) (aš tiesiog rašysiu C_1 = 0). Kampas B_1CM yra kampas ACC_1, taigi mums reikia rasti, kur padėti C ant w, kad kampas tarp 0, C ir A = (-1, 0) būtų kuo didesnis. Apibrėžkime apie C, 0 ir -1 (rašau -1 vietoje (-1, 0)) apskritimą ir pažymėkime jo spindulį r. Kampas 0 C -1 (tegul tai būna kampas x) remiasi į stygą, kurios ilgis 1, todėl pagal sinusų teoremą 1 / sin x = 2r. Taigi kad rastume patį didžiausią x, mums reikia rasti mažiausią įmanomą r.
Kitaip sakant, mums reikia rasti tokį apskritimą, kuris eitų per 0 ir -1 bei liestųsi su w. Jei tokio apskritimo centras r, tai 1 / sin u = 2r (nes u yra maksimali x reikšmė), taigi galime rasti u.
Šio apskritimo centro koordinatės yra (-1/2, h) su kažkokiu h. Dėl lietimosi žinome, kad spindulys iš (0, -3v) į (-1/2, h) kerta šį apskritimą kažkokiame taške K, ir taip pat per K eina apskritimas w. Taigi atstumas nuo (-1/2, h) iki (0, -3v) yra 3R - r. Bet atstumas nuo (-1/2, h) iki 0 yra r (pagal r apibrėžimą), todėl (-1/2, h) priklauso elipsei, kurios židiniai 0 ir (0, -3v) ir spindulys 3R. Užsirašome jos lygtį ir randame h (turėtų būti kvadratinė lygtis su dviem sprendiniais, iš kurių vienas absurdiškas, todėl jį atmetame). Žinodami h randame r. Žinodami r randame u.
Aš nelabai tikiuosi, kad kas nors iš jūsų mėgins susekti šitą sprendimą, bet noriu parodyti, kad ne išsigalvojęs sakau, jog sąlyga truputį ne į temą (bet ir su tokia galima darbuotis).
pakeista prieš 13 m
Taksas027 (+1078)
MirtiseRaskite skaičiaus [tex]16^{8}-5^{31}\cdot 8^{13}[/tex] dalybos iš 3 liekaną
Padarei šitą pagal Ancient būdą? :D Tai čia reik 16 pakeist į 1, 5 pakeisti į 2 ir 8 taip pat į 2? tada gaunasi [tex]1^8-2^{31}\cdot2^{13}=1^8-2^{44}[/tex] ir ką dabar daryti? o gal iš vis ne taip daryt?
