Piramidė ir sfera

Jei taip, tai sprendimas tinka. Bet aš įtariu, kad gali būti kitaip: sąlygoje duota, kad bet kuri siena sudaro 45 laipsnių kampą su pagrindu, o jei visos sienos būtų vienodi lygiakraščiai trikampiai, tai tas kampas būtų arccos(1/3) ≈ 70 laipsnių.

Na, bent jau mes mokykloje mokomės,kad taisyklingoji trikampė piramidė - lygiakraštis pagrindas ir 3lygiašoniai trikampiai, o piramidė, kurios visos sienos yra lygios (na, ta prasme lygiakraščiai trikampiai) - tai tetraedras. Ar tai netiesa?:|

Su tom taisyklingosiom piramidėm ir tetraedrais būna daug neaiškumų. Kai kur tetraedru vadinama bet kokia trikampė piramidė. Idėjiškai teisingesnis apibrėžimas būtų, kad taisyklingoji piramidė yra jūsų vadinamasis tetraedras, bet jei jau tokius apibrėžimus gavote, nėra ko ginčytis.

Galima pakoreguoti mano anksčiau rašytą sprendimą. Tegul piramidė būna ABCD, kur D yra viršūnė prieš pagrindą (taigi ABC yra pagrindas). Pažymėkime a = AB = BC = CA. Nagrinėkime šoninę sieną BCD. Tegul M būna briaunos BC vidurio taškas. Tuomet DM yra trikampio BCD aukštinė (nes BD = CD). Taip pat AM yra trikampio ABC aukštinė (nes AB = AC). Taigi kampas DMA lygus 45 laipsniams (duota). Tegul DO būna piramidės aukštinė iš viršūnės D į pagrindą ABC. Tuomet O priklauso pagrindo aukštinei AM ir dalina ją santykiu AO : OM = 2 : 1 (nes piramidė yra taisyklingoji). Tada DM = MO / sin(DMO) = MO / sin(45 l.) = √2 MO = √2 AM / 3 (nes OM = AM / 3). Taip pat DO = MO * tg(45 l.) = MO.

Tačiau AM yra pagrindo aukštinė, todėl AM = √3 a / 2, DO = a / (2√3) ir DM = √(2/3) a. DM yra šoninės sienos aukštinė į pagrindo kraštinę, todėl bet kurios šoninės sienos plotas yra 1/2 * a * √(2/3) a = a² / √6.

Padalinkime piramidę į keturias piramides kaip anksčiau. Vienos iš šių piramidžių (kurios pagrindas yra ir pradinės piramidės pagrinas, o aukštinės ilgis 3) tūris yra 1/3 * 3 * √3 a² / 4 = √3 a² / 4, o kitų trijų (kurių pagrindai yra pradinės piramidės šoninės sienos, o aukštinių ilgis 3) tūriai yra 1/3 * 3 * a² / √6 = a² / √6. Taigi pradinės piramidės tūris yra √3 a² / 4 + 3 * a² / √6 = √3 a² (1/4 + 1/√2). Tačiau anksčiau radome, kad DO = a / (2√3), todėl pradinės piramidės tūris yra ir 1/3 * (a / (2√3)) * √3 a² / 4 = a³ / 8. Sulyginę šitas dvi tūrio išraiškas randame a ir viską galime apskaičiuoti (tikiuosi, nepadariau aritmetikos klaidų).

Yra ir trumpesnių sprendimų. Šitą sprendimą parašiau, nes jau anksčiau buvau parašęs panašų. Be to, tokio sprendimo privalumas tas, kad nereikia įrodinėti jokių įbrėžtinės sferos savybių. Naudojome tik taisyklingosios piramidės savybes ir įbrėžtinės sferos apibrėžimą.

aciu :))

turėtų keistis,nes piramidė nebebus taisyklingoji:)Bent jau mano nuomonė tokia

Jei pagrindas lygiakraštis, bet piramidė nebūtinai taisyklingoji, šitas sprendimas netinka. Bet, rodos, tokio uždavinio atsakymas būtų nevienareiškmiškas, todėl jo neturėtum gauti.

Tetraedras visos briaunos lygios, trikampės piramidės, o taisyklingosios piramidės pagrindas taisyklingas n-kampis, aukštinė išeina iš pagrindo vidurio ir visos šonines briaunos tarpusavy lygios (bet nebūtinai lygios pagrindo kraštinėm).