Rasti masės centro koordinates

Pažiūrėkime į paprastesnius atvejus. Sakykime, kad turime du taškus tiesėje, kurių koordinatės x_1 ir x_2, o masės m_1 ir m_2, atitinkamai. Kiekvienas taškas prie masės centro padėties "prisideda tiek, kiek pats sveria", t.y. masės centro koordinatė yra (m_1 x_1 + x_2 m_2) / (m_1 + m_2).

Nagrinėkime bendresnį atvejį. Sakykime, kad turime n taškų X_1, X_2, ..., X_n erdvėje, o tų taškų masės yra atitinkamai m_1, m_2, ..., m_n. Erdvė gali turėti bet kokį baigtinį skaičių k dimensijų, bet tarkime, kad erdvė yra trimatė, t.y. kiekvienas vektorius X_i turi tris koordinates: X_i = (x_i, y_i, z_i). Tuomet vėl kiekvienas taškas prisideda prie masės centro koordinačių tiek, kiek pats sveria, t.y. masės centro koordinatės yra (m_1 X_1 + m_2 X_2 + ... + m_n X_n) / (m_1 + m_2 + ... + m_n). Pažymėkime visos sistemos masę M, t.y. M = m_1 + m_2 + ... + m_n. Tuomet masės centro koordinatės yra 1/M * (m_1 X_1 + ... + m_n X_n). Pavyzdžiui, jo x koordinatė yra 1/M * (m_1 x_1 + ... + m_n x_n), o y koordinatė yra 1/M * (m_1 y_1 + ... + m_n y_n).

Dabar pereikime prie "tolydaus" atvejo, kai turime kūną A, sudarytą iš be galo daug taškų. Tuomet taškai nebeturi svorio, bet turi tankį, t.y. turime funkciją m(X), kuri parodo kūno tankį taške X. Kai kūnas vienalytis, galime parinkti m(X) = 1 visuose kūno taškuose A.

Kūno A masė yra

[tex]M = \int_A m(X) dX.[/tex]

Ir vėl kiekvienas taškas prie masės centro padėties prisideda tiek, kiek "sveria". Dabar neturime masės, o turime tankį, todėl masės centras yra

[tex]\frac{1}{M} \int_A m(X) X dX. [/tex]

Rašydami X = (x, y, z) gauname, kad, pavyzdžiui, masės centro y koordinatė yra

[tex]\frac{1}{M} \int_A m(X) y dX.[/tex]


Dabar bandykime panaudoti teoriją šiam uždaviniui.

Darbuosimės dviejų matmenų erdvėje - viskas tas pats, tik neturime z. Tegul A būna nagrinėjima figūra. Tiesė y = 0 yra figūros simetrijos ašis, todėl masės centras jai priklauso, t.y. masės centro y koordinatė yra 0. Telieka surasti jo x koordinatę.

Kadangi figūra vienalytė, parenkame m(X) = 1 visuose jos taškuose X. Tuomet figūros masė yra

[tex]M = \int_A 1 dX, [/tex]

kas tėra figūros A plotas.

Tuomet galime apskaičiuoti masės centro x koordinatę, kuri yra lygi

[tex]\frac{1}{M} \int_A x dX = \frac{1}{M} \int_{y=-4}^4 \int_{x = y^2/4}^4 x dx dy.[/tex]

Įdomu. Na, dėkui. ;]

AncientMariner, gal suskaičiavai koks atsakymas gaunasi? Aš nemoku dvilypių integralų.

Dvilypiai integralai nėra kažkas gudraus. Bendriausia forma jie atrodo taip:

[tex]\int_{x=a}^b \int_{y=c(x)}^{d(x)} f(x, y) dy dx,[/tex]

kur c(x) ir d(x) yra funkcijos nuo x, o f(x, y) yra funkcija nuo x ir y.

Realiai tai yra du paprasti integralai. Užfiksuokime kažkokį x tarp a ir b ir pamirškime, kad turime integralą pagal x: integruokime pagal y su fiksuotu x. Šiam x, f(x, y) yra funkcija tik nuo y, o c(x) ir d(x) yra konstantos, taigi galime parašyti F(y) = f(x, y), C = c(x), D = d(x) ir suintegruoti

[tex]\int_C^D F(y) dy.[/tex]

Jei būtume užfiksavę kitą x, būtume gavę kitas konstantas C, D ir kitokią funkciją F(y), todėl galime apibrėžti funkciją

[tex]g(x) = \int_C^D F(y) dy,[/tex]

kuri parodo, kam būtų lygus tas integralas, jei būtume užfiksavę įvairius x. Pabaigiame suintegruodami šitą funkciją:

[tex]\int_a^b g(x) dx.[/tex]


Apskaičiuokime integralus šiam uždaviniui.

[tex]I = \int_{y=-4}^4 \int_{x=y^2/4}^4 x dx dy.[/tex]

Užfiksuokime kažkokį y. Suintegruokime integralą pagal x:

[tex]\int_{x=y^2/4}^4 x dx = {\left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{y^2/4}^4} = 8 - \frac{y^4}{32}[/tex].

Įstatome šį rezultatą ir integruojame pagal y:

[tex]\int_{y=-4}^4 \left( 8 - \frac{y^4}{32} \right) dy = {\left[ 8y - \frac{y^5}{160} \right]}_{-4}^4 = 64 - 2 \cdot \frac{4^5}{160} = 64 - \frac{64}{5} = \frac{256}{5}.[/tex]

Taigi I = 256/5. Pabandykime apskaičiuoti M ir patikrinti, ar gaunasi toks pats rezultatas, kokį sakė Taksas027.

[tex]M = \int_A 1 dX = \int_{y=-4}^4 \int_{x=y^2/4}^4 1 dx dy = \int_{y=-4}^4 \left(4 - \frac{y^2}{4} \right) dy = {\left[4y - \frac{y^3}{12} \right]}_{-4}^4 = 32 - 2 \cdot \frac{64}{12} = \frac{64}{3}.[/tex]

Gavome du kartus daugiau nei Taksas027 siūlo, tai turbūt padarėme klaidą kažkur :D Galima peržiūrėti skaičiavimus.

Jei visgi M = 64/3 ir I = 256/5, tuomet masės centro x koordinatė yra I/M = 12/5.


Tiesą sakant, jei I yra teisingai apskaičiuotas, tai M = 64/3 yra panašiau į tiesą nei 32/3, nes pastaruoju atveju masės centro x koordinatė  būtų 6/5, kas yra nepanašu į tiesą, nes figūra "stambesnė" pusėje x > 2, todėl ir masės centro x koordinatė turėtų būti didesnė nei 2. 12/5 atrodo gana tikėtina.

Ačiū už informaciją ir netingėjimą rašyti ;] tiesiog dar nedaėjau iki tos vietos knygoje, kur dvilypiai integralai nagrinėjami. Bet tavo pranešimas tikrai suteikė motyvacijos pasiskubinti.
Aš šitam uždaviny galvojau taip, y=0 yra simetrijos ašis (kaip ir minėta), tad masės centro koordinatė y ašy lygi nuliui. O kad rasti masės centra palei x, tai (nesu tikras ar taip galima), tarti jog ta figūra tėra tarsi strypas išilgai x ašies, tik su kintama mase kiekviename taške. Tokiu būdu visas skaičiavimas supaprastėtų iki "vienalyčio" integralo:
[tex]x = \frac{\int \limits_{0}^{4} x \sqrt{x} dx}{ \int \limits_{0}^{4} \sqrt{x}dx } [/tex]
su atsakymu 12/5.

house_martinAčiū už informaciją ir netingėjimą rašyti ;] tiesiog dar nedaėjau iki tos vietos knygoje, kur dvilypiai integralai nagrinėjami. Bet tavo pranešimas tikrai suteikė motyvacijos pasiskubinti.
Aš šitam uždaviny galvojau taip, y=0 yra simetrijos ašis (kaip ir minėta), tad masės centro koordinatė y ašy lygi nuliui. O kad rasti masės centra palei x, tai (nesu tikras ar taip galima), tarti jog ta figūra tėra tarsi strypas išilgai x ašies, tik su kintama mase kiekviename taške. Tokiu būdu visas skaičiavimas supaprastėtų iki "vienalyčio" integralo:
[tex]x = \frac{\int \limits_{0}^{4} x \sqrt{x} dx}{ \int \limits_{0}^{4} \sqrt{x}dx } [/tex]
su atsakymu 12/5.

Mary L. Boas "Mathematical Methods in the Physical Sciences", bet kaip supratau iš skaitytojų atsiliepimų - ši knyga matematikams nelabai patinka ir nelabai tinka ;D

Jei tu labiau fizikas, tai gerai :) Bet jei tu labiau matematikas, patarčiau perskaityti kokią nors grynosios matematikos knygą, ypač analizės. Skaitydamas taikomosios matematikos knygas gali pamatyti įvairių metodų, bet vargu ar jie susijungs į tolydžią visumą. Perskaitęs gerą grynosios matematikos knygą pamatytum, kaip viskas yra susijungę ir tikslu (pavyzdžiui, dvigubas integralas neatrodytų niekuo baisus ar ypatingas, o būtų tik specialus atvejis bendros konstrukcijos; daug dalykų, kuriuos dabar tenka spėlioti ir pasikliauti savo intuicija, paaiškėtų).

Tai tiek propogandos :) Gerai skaityti bet kokias knygas - manęs klausyti nebūtina :D

AncientMariner
Gavome du kartus daugiau nei Taksas027 siūlo, tai turbūt padarėme klaidą kažkur :D Galima peržiūrėti skaičiavimus.

Būtent ;]