ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Uždaviniai apie laikrodžio rodyklių judėjimą

Skaičiavimai Peržiūrų skaičius (799)

Gal galit įkelti savo sprendimą? Man nesigavo vis tik tuo būdu.

0

Pažymėkime [tex]\omega_m,\space \omega_v[/tex] - minutinės ir valandinės rodyklių kampinius greičius (rad/h).
Kadangi per 1 valandą minutinė rodyklė pasisuka kampu [tex]2\pi[/tex], o valandinė: [tex]\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}[/tex] tai ir gauname, kad:$$\omega_m=2\pi,\space \omega_v=\dfrac{\pi}{6}$$Laikykime, jog laikrodžio rato spindulys yra lygus 1, o laikrodžio rodykles atitinka vienetiniai vektoriai: [tex]\vec{m},\space \vec{v}[/tex], kurie išvesti iš laikrodžio centro.
Sutarkime posūkio kampus nagrinėti kaip įprasta vienetiniame apskritime, tai yra pradinė spindulio galo pozicija (1;0) ir teigiama posūkio kampo kryptis yra prieš laikrodžio rodyklę. Kai vektorių posūkio kampai yra [tex]\varphi_{m}[/tex]ir [tex]\varphi_{m}[/tex]:$$\vec{m}=\{\cos(\varphi_{m});\sin(\varphi_{m})\}\\\vec{v}=\{\cos(\varphi_{v});\sin(\varphi_{v})\}$$
Kai minutinės rodyklės pradinė padėtis [tex]\varphi_{m0}[/tex], o valandinės [tex]\varphi_{v0}[/tex], tai vektorių koordinatės išreiškiamos taip: $$\vec{m}=\{\cos(\varphi_{m0}+\varphi_{m});\sin(\varphi_{m0}+\varphi_{m})\}\\\vec{v}=\{\cos(\varphi_{v0}+\varphi_{v});\sin(\varphi_{v0}+\varphi_{v})\}$$ Tuomet praėjus laikui [tex]t[/tex]: [tex]\varphi_{m}=\omega_{m}t,\space \varphi_{v}=\omega_{v}t[/tex].
Šiuo atveju turėsime, kad: $$\omega_m=-2\pi,\space \omega_v=-\dfrac{\pi}{6}$$, nes laikrodžio rodyklės juda priešingai, nei mes sutarę sukti vienetinio apskritimo spindulį. Sutarkime, jog pradžioje rodyklė rodo 12 valandą, tada: [tex]\varphi_{m0}=\dfrac{\pi}{2}[/tex] ir [tex]\varphi_{v0}=\dfrac{\pi}{2}[/tex], taigi gauname:$$\vec{m}=\{\cos(\frac{\pi}{2}-2\pi t);\sin(\frac{\pi}{2}-2\pi t)\}=\{\sin(2\pi t);\cos(2\pi t)\}\\\vec{v}=\{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} t\right);\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} t\right)\}=\{\sin\left(\frac{\pi}{6} t\right);\cos\left(\frac{\pi}{6} t\right)\}$$
Na po tokio vargelio liko linksmiausia dalis.
Ieškodami, kada rodyklės sudarys ištiestinį kampą, mes ieškosime, kada šie vektoriai sudaro ištiestinį kampą. Panagrinėkime jų skaliarinę sandaugą: $$\vec{m}\cdot \vec{v}=|\vec{m}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos\left(\widehat{\vec{m},\vec{v}}\right)$$ Kadangi [tex]|\vec{m}|=|\vec{v}|=1[/tex] ir [tex]\widehat{\vec{m},\vec{v}}=\pi[/tex], tai: $$\vec{m}\cdot \vec{v}=1\cdot 1\cdot \cos \pi=1\cdot (-1)=-1$$ Taip pat: $$\vec{m}\cdot \vec{v}=\sin(2\pi t)\cdot \sin(\frac{\pi}{6}t)+\cos(2\pi t)\cdot \cos(\frac{\pi}{6}t)=\cos(2\pi t-\frac{\pi}{6}t)=\cos(\frac{11\pi}{6}t)$$ Taigi sudarome lygtį: $$\cos(\frac{11\pi}{6}t)=-1$$
Ir ją išsprendžiame: $$\frac{11\pi}{6}t=\pi+2\pi n, n∈\mathbb{Z} |\cdot \frac{6}{\pi}\implies 11t=6+12n\implies t=\dfrac{6+12n}{11}, n∈\mathbb{Z}$$
Kadangi [tex]0<t<24[/tex], tai:$$0<\dfrac{6+12n}{11}<24 |\cdot 11\implies 0<6+12n<264 |-6\implies \\-6<12n<258|:12\implies -0,5<n<21,5\implies 0≤n≤21$$ Kai [tex]n∈\mathbb{Z}[/tex] ir [tex]t>0[/tex], tai rodyklės sudarys ištiestinį kampą 22 kartus.
Spręsdami šiuo būdu mes suskaičiavome ne tik kartus bet ir radome visus laiko momentus, kada rodyklės sudarys ištiestinį kampą. Juos aprašo gauta formulė: [tex]t=\dfrac{6+12n}{11}[/tex].
Naudodami šį metodą mes taip pat galime spręsti uždavinį, kai yra reikalaujama bet kokio rodyklių sudaromo kampo.

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-06-10

0

Ačiū :) Šaunuolis, kad stengiatės kitiems padėti

0

Malonu pagelbėti :)

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!