Uždaviniai iš tikimybių (patikrinti ar gerai sprendžiu)

Sveiki. Tikimybės sunkiai sekasi, tad gal kas galėtų patarti, pataisyti, jei sprendžiu prastai.

1. a) Renkami olimpinio komiteto prezidentas, pavaduotojas ir sekretorius. Yra du kandidatai į prezidento vietą, trys kandidatai į pavaduotojo vietą ir keturi kandidatai į sekretoriaus vietą. Kiek yra galimybių sudaryti vadovų komandą?
  b) Kiek yra skirtingų penkiaženklių natūraliųjų skaičių?
  c) Duoti skaitmenys 0, 2, 3, 4, 6, 7, 9. Kiek lyginių keturženklių skaičių su skirtingais skaitmenimis galima sudaryti iš šių skaitmenų?

Sprendimai:

1 a) 2*3*4=24 (galimybės)
  b) 9*10*10*10*10=[tex]9*10^4[/tex]
  c) 4*4*3*3=144

Laukiu jūsų nuomonės, įkelsiu vėliau dar. Ačiū

a) ir b) geri, o c) gal paaiškintum kaip skaičiavai. Aš gaunu 420.

Sveiki,

nežinau ar gerai bet skaičiuoju taip:

Paskutinį skaičių galima parinkti 4 būdais (0,2,4,6)    x*x*x*4
Pirmą skaičių galima pasirinkti  7-2=5 (būdais kadangi 0 netinka) 5*x*x*4
Antra skaičių taip pat 5 būdais.  5*5*x*4
O trečią 4 būdais. 5*5*4*4 (gaunu 400).

Negaunu niekaip 420. Ką pražiopsojau?

Čia 0 šiek tiek pasunkina skaičiavimą. Tu rašai, kad paskutinį skaitmenį galima parinkti 4 būdais, o vėliau rašai, kad pirmąjį skaitmenį galima parinkti 5 būdais (nes 0 negali būti ir vienas skaitmuo jau panaudotas), o kas jei tas paskutinis skaitmuo buvo parinktas 0, tada pirmąjį jau galime rinktis iš likusius 6. Todėl reikia nagrinėti du atvejus, kai paskutinis skaitmuo yra lygus 0, ir kai nėra.
1) Kai paskutinis skaitmuo lygus 0:
Paskutiniam skaitmeniui parinkti 1 galimybė, likusius tris [tex]6\cdot 5\cdot 4[/tex].
Taigi tokių skaičių yra" [tex]6\cdot 5\cdot 4\cdot 1=120[/tex]
2) Kai paskutinis skaitmuo nėra 0:
Paskutiniam skaitmeniui parinkti 3 galimybės, pirmąjį - 5 (nes jau vienas paimtas, o 0 negali būti), antrąjį taip pat 5, (nes iš 7 paimtas vienas lyginis nelygus 0 skaičius, vienas skaičius pirmam skaitmeniui, bet dabar gali būti 0), na ir trečiąjį 4 galimybės
Taigi tokių skaičių yra" [tex]5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300[/tex]
Viso lyginių skaičių skirtingais skaitmenimis [tex]120+300=420[/tex].

Dėkui. Dabar žymiai aiškiau.

2. a) Keliais būdais galima iš 8 skirtingų spalvų tulpių sudaryti 5 tulpių puokštę?
  b) Turime 16 baltų, 9 rausvas ir 7 geltonas tulpes. Kiek yra galimybių sudaryti puokštę iš 2 baltų, 3 rausvų ir 4 geltonų tulpių?
  c) Sigita turi 11 skirtingų kompaktinių plokštelių. Ji nori draugei padovanoti ne mažiau kaip 8 kompaktines plokšteles. Kiek Sigita turi galimybių?

Sprendimai:

2. a) 8*7*6*5*4=6720
    b) (16*15)*(9*8*7)*(7*6*5*4)          //skliausteliai tik dėl aiškumo
    c) (11*10*9*8*7*6*5*4)+(11*10*9*8*7*6*5*4*3)+11!

Laukiu jūsų nuomonės. Dėkui

a) O ar tulpių parinkimo tvarka svarbi? Manau, kad ne.
Nežinau, ar jau girdėjai apie derinius. Jei taip, tai tada tiesiog [tex]C_8^5=C_8^3=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56[/tex]
Arba tiesiog tavo paskaičiuotą skaičių 6720 padalijame iš skaičiaus, kuris lygus galimų 5 konkrečių gėlių pertvarkų galimybei: [tex]5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120[/tex]. Taigi gauname: [tex]\dfrac{6720}{120}=56[/tex].
b) Čia irgi tas pats. Eilės tvarka tarp baltų, rausvų ir geltonų gėlių nesvarbi, todėl:
[tex]C_{16}^2\cdot C_{9}^3\cdot C_{7}^4=C_{16}^2\cdot C_{9}^3\cdot C_{7}^3=\dfrac{16\cdot 15}{2\cdot 1}\cdot \dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}[/tex].
c) [tex]C_{11}^8+ C_{11}^9+ C_{11}^{10}+C_{11}^{11}=C_{11}^3+ C_{11}^2+ C_{11}^{1} +  C_{11}^{0}[/tex]

Čia kaip matai pritaikiau derinių savybę [tex]C_n^k=C_n^{n-k}[/tex], kuri palegvina skaičiavimą.
O pačio derinio skaičiavimo formulė: [tex]C_n^k=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 1}[/tex]
arba:
[tex]C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/tex], kur [tex]k![/tex]- skaičiaus [tex]k[/tex] faktorialas, lygus: [tex]k!=k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1[/tex]. Atskiras atvejis: [tex]0!=1[/tex], todėl tarkime [tex]C_{11}^0=1[/tex] ir bendru atveju: [tex]C_{n}^0=1[/tex]

Nežinau, ar žinai, kas tie deriniai, ar ne, jei ką sakyk. Deriniai naudojami, kai rinkinyje tvarka nesvarbi.

Turėjau mokytis kėlinius, gretinius ir derinius, bet prasirgau 2 savaites ir dabar bandau atsigriebti. Labai sunku, kai praleidi daug pamokų.

Tiesą sakant tie visi gretiniai, kėliniai ir deriniai išvedami iš nieko kito kaip tos pačios kombinatorikos daugybos taisyklės. Tai jeigu tau patogiau, tai tu gali ir toliau ją taikyti. Tiesiog svarbu žinoti, jog kai eilės tvarka yra nesvarbi mes privalome padalinti iš tų rikiuojamų objektų apsikeitimo vietomis galimybių skaičiaus.

Nieko suklydau (pasižiūrėjau į b eilutę)