Matematikos Maratonas Nr. 3

Kiek pavėluotas, bet štai toks galimas duoto uždavinio sprendimas:
Jei brėžinį vaizduočiau kartu su apskritimu būtų sunku suprasti ką turiu įrodinėti, nes tarkime kampo [tex]∠OCD[/tex] statumas būtų labiau nei akivaizdus,
juk apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, išvestam iš liestimosi taško. Taigi įrodymui naudosiu šį brėžinį (be apskritimo, bet tai nereiškia, jog nenaudosiu su apskritimu susijusių savybių). O realią situaciją galite pamatyti žemiau po įrodymu:
Tarkime [tex]∠CBA=\alpha[/tex], čia [tex]0^o<\alpha<90^o[/tex], tada: [tex]∠BAC=90^o+\alpha[/tex]
Kadangi kampas [tex]∠CBA[/tex] įbrėžtininis, o [tex]∠AOC[/tex]-centrinis, bet jie abu remiasi į tą patį lanką, gauname, kad:
[tex]∠AOC=2\alpha[/tex]
Kadangi trikampis OAC lygiašonis (nes OA, OC - apskritimo spinduliai), tai: [tex]∠OAC=∠OCA=\dfrac{180^o-2\alpha}{2}=90^o-\alpha[/tex].
Iš trikampio BDC gauname, kad: [tex]∠BCD=180^o-90^o-\alpha=90^o-\alpha[/tex]
Kadangi kampai [tex]∠BAC[/tex] ir [tex]∠CAD[/tex] gretutiniai, tai: [tex]∠CAD=180^o-∠BAC=180^o-(90^o+\alpha)=90^o-\alpha[/tex]
Iš trikampio CAD gauname, kad: [tex]∠ACD=180^o-90^o-(90^o-\alpha)=\alpha[/tex]
Vadinasi: [tex]∠OCD=∠OCA+∠ACD=90^o-\alpha+\alpha=90^o[/tex]
Iš trikampio OBA: Kadangi jis lygiašonis (OB,OA-apskritimo spinduliai), tai OM yra ne tik pusiaukraštinė, bet ir aukštinė. Tada iš keturkampio OMDC gauname, kad: [tex]∠OMD=∠MDC=∠OCD=90^o[/tex]. Pakanka, jog trys keturkampio kampai yra statūs (ketvirtas taip pat status, nes visų kampų suma turi būti lygi [tex]360^o[/tex]), jog galėtume teigti, kad tai stačiakampis. Tokiu atveju priešingos jo kraštinės lygios, todėl: [tex]MD=OC=R[/tex] Įrodyta!

Viskas teisingai :)

Matydamas, jog dar yra šioks toks aktyvumas šiame puslapyje, kad ir vasaros metu, tai galbūt sulauks kieno nors dėmesio toks uždavinukas:

Susirinkimas prasidėjo tarp 6 ir 7 valandos ir baigėsi tarp 9 ir 10 valandos. Kiek laiko vyko susitikimas, jei susitikimo pabaigoje laikrodžio valandos ir minučių rodyklės pasikeitė vietomis lyginant su susitikimo pradžia.

Niekas neišsprendė uždavinio, todėl pateikiu jo sprendimą (Galit paspaust ant paveikslėlio, jog šis padidėtų).

Pagal sąlygą akivaizdu, jog susirinkimo pradžioje laikrodžio rodyklės yra išsidėsčiusios taip: valandų yra tarp 6 ir 7 padalos, o minučių - tarp 9 ir 10 (1 pav.). Praėjus tam tikram laikui susirinkimas baigiasi ir laikrodžio rodyklės apsikeitė vietomis (2 pav.). Po keletos minučių minučių rodyklė pasiekia tašką, kuriame ji buvo susirikimo pradžioje, o valandinė rodyklė pasisuka nedidelį kampą, kurį atitinka lankas BC (3 pav.). Šiuo momentu nuo susirinkimo pradžios bus praėję 3 valandos (taigi akivaizdu, jog susirinkimas vyko mažiau nei 3 h, bet daugiau nei 2 h). Tarkime lanko dydis BC atitinka vieną dalį. Kadangi minutinė rodyklė per valandą apsisuka 12 kartų didesniu kampu, vadinasi lankas AB atitiks 12 dalių. Tada visas lankas AC - 13 dalių.
Pastebime , jog per 3 h valandinė rodyklė būtent ir pasisuka tuo kampu, kuris sudaro 13 dalių, o susirinkimo pabaigoje ji buvo pasisukusi kampu, kuris sudarė 12 dalių, vadinasi susirinkimas truko: [tex]\dfrac{12}{13}\cdot 3=\dfrac{36}{13}\space h=2\dfrac{10}{13}\space h=2\space h\space \dfrac{10}{13}\cdot 60\space min=2\space h\space 46\dfrac{2}{13}\space min=2\space h\space 46\space min\space \dfrac{2}{13}\cdot 60\space s=2\space h\space 46\space min\space 9\dfrac{3}{13}\space s[/tex]

[tex]i^i=(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))^i=(e^{i\frac{\pi}{2}})^i=e^{-\frac{\pi}{2}}[/tex]

Kas negerai?

Įrodykite, kad lygtis  [tex]p^2+r^2=q^2+t^2+s^2[/tex]  neturi sprendinių pirminiais skaičiais.

Sprendimas

Raskime visas pirminių skaičių kvadratines liekanas moduliu [tex]8[/tex]:
[tex]2^2≡4\mod8,\;\;(2k-1)^2≡4k^2-4k+1≡4(k(k-1))+1≡1\mod8[/tex]. Taigi, pirminiai gali turėti liekanas [tex]4[/tex] arba [tex]1[/tex] moduliu [tex]8[/tex].
Raskime lygties abiejų pusių liekanas moduliu [tex]8[/tex]:
Kairė: [tex]1+1=2\;\;,4+1=5,\;\;4+4≡0[/tex]
Dešinė: [tex]1+1+1=3,\;\;1+1+4=6,\;\;1+4+4≡1,\;\;4+4+4≡4[/tex]
Kaip matome, jokiu atveju kairė pusė nelygs dešinei moduliu [tex]8[/tex].

Įrodyta

Raskite lygties  [tex]3^x+4^x=5^x[/tex]  natūraliuosius sprendinius.

Gerai.