Matematikos Maratonas Nr. 3

Rašydami sudėtingus matematinius tekstus, naudokite kuo daugiau tarpų, naujų eilučių, centravimo. Labai sunku skaityti ir suprasti tekstą, kai viskas labai sugrūsta.
Paskutinį sprendimą aš truputį aptvarkiau, manau ir jums maloniau tokį skaityti.

http://www.ematematikas.lt/forumas/matematiniai-simboliai-latex-sintakse-t1167.html

Taip, Karoli, tu teisus. Šaltinyje pateikta užduotis prašė rasti polinomą, kurio šaknys yra [tex]\cot^2(x_j)[/tex], o užduotį, kurią pateikiau čia, gavau iš pradinio uždavinio rezultatų.

Pats šaltinis: "Неэлементарные задачи в элементарном изложении. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей. Задачи из разных областей математики. Акива Яглом, Исаак Яглом"

P.s. Užduoties sprendimo dalį gali rasti: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#The_proof

Ištirkite eilutės konvergavimą
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }(e^{\frac{1}{n}}-1)(e^{\frac{i}{n}}-1)[/tex]

Naudosimės lygybe: $$ (e^{\frac{i}{n}}-1)=-2\sin^2(\frac{1}{2n})+i\sin(\frac{1}{n})$$
Perrašykime sumą: $$ \sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)(e^{\frac{i}{n}}-1)= -2\sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)\sin^2(\frac{1}{2n})+i\sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)\sin(\frac{1}{n})$$
Jei konverguoja realioji ir menamoji pradinės sumos dalys, tai konverguoja ir pati pradinė suma.

Kadangi, $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)\sin^2(\frac{1}{2n})}{\frac{1}{4n^3}}=1$$ ir
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(e^{\frac{1}{n}}-1)\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=1$$, tai [tex]∃ c_1,c_2>0[/tex], kad [tex](e^{\frac{1}{n}}-1)\sin^2(\frac{1}{2n})<\frac{c_1}{4n^3}[/tex] ir [tex](e^{\frac{1}{n}}-1)\sin(\frac{1}{n})<\frac{c_2}{n^2}[/tex]. Todėl $$\sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)\sin^2(\frac{1}{2n})$$ ir $$\sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)\sin(\frac{1}{n})$$ konverguoja, ir kartu koverguoja $$ \sum_{n = 1}^\infty (e^{\frac{1}{n}}-1)(e^{\frac{i}{n}}-1) $$

Taip, viskas tvarkoj. Tik reikėtų dar pridurti, jog eilutė yra ABSOLIUČIAI konverguojanti.

Tarkime, [tex]a_1, a_2, ... ,a_{10}[/tex] yra sveikieji skaičiai tokie, kad [tex]1\leq a_i \leq 25[/tex], kur [tex]1 \leq i \leq 10[/tex]. Parodykite, kad egzistuoja tokie sveikieji skaičiai [tex]n_1,n_2,...,n_{10}[/tex] (nevisi nuliai), kad $$ \prod_{k=1}^{10} a_k^{n_k}=1$$

Akivaizdu, jog
[tex]a_{k}=2^{m_{k1}}3^{m_{k2}}5^{m_{k3}}...23^{m_{k9}}[/tex]  (1)
Čia devyni dauginamieji- pirminių dauginamųjų 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 laipsniai
Laipsnio rodikliai-sveikieji neneigiamieji skaičiai.
Nagrinėsime sąlygoje duotą lygtį. Reikia įrodyt, kad ji turi bent vieną netrivialųjį sprendinį
[tex](n_{1},n_{2},...,n_{10})[/tex]
sveikųjų skaičių aibėje.
Logaritmuodami gauname lygtį
[tex]\sum n_{k}lga_{k}=0[/tex]
o atsižvelgdami į (1), gauname lygčių sistemą
[tex]\sum_{k=1}^{10}m_{kj}n_{k}=0[/tex]
Indeksas j kinta nuo 1 iki 9.
Gautoji devynių tiesinių homogeninių lygčių sistema su 10 kintamųjų (rangas mažesnis už 10) turi be galo daug netrivialių sprendinių. Kadangi lygčių koeficientai yra sveikieji skaičiai, tai kiekvieną sistemos sprendinį sudaro racionalieji skaičiai. Juos padauginus iš tam tikro daugiklio (kintamųjų reikšmių bendro vardiklio), gausime sistemos netrivialųjį sprendinį, kurio komponentės (koordinatės) yra sveikieji skaičiai. Įrodyta.

Tai, kad (1) nėra akivaizdu.

O taip, taip ! Pataisiau....