eMatematikas.lt
Forumas
Įrankiai Formulynas Testai Egzaminai
Prisijungti        
« PradžiaSkaičiavimai1547

Ar kvadratinio trinario reikšmė visada teigiama, kai jo diskriminantas yra neigiamas?


Klausimas galbūt ir keistai skamba, nes nemokėjau jo padoriai suformuluoti.
Spręsdamas uždavinį susidūriau su man dar nepažįstamu atveju.

Su kuriomis [tex]a[/tex] reikšmėmis duotosios nelygybės sprendinys yra bet kuris skaičius?

[tex]x^2 - 4ax + 3a > 0[/tex]


Apačioje šios užduoties buvo nurodytas panašios problemos paaiškinimas: kai [tex]D > 0[/tex], kvadratinė lygtis turi du sprendinius.

Remdamasis šiuo teiginiu, kažkokiu būdu priėjau pirmosios užduoties sprendimą.

[tex]
x^2 - 4ax + 3a > 0\\
D = (-4a)^2 - 4 \cdot 3a = 16a^2 - 12a\\
16a^2 - 12a < 0\\
16a(a - \frac{3}{4}) < 0 \implies a \in (0; \frac{3}{4})
[/tex]

Tačiau man pasidarė įdomu, kuo pagrįstas šio metodo veikimo principas? Taip ir kilo klausimas, esantis temos pavadinime: ar kvadratinio trinario (ne lygties) reikšmė visada teigiama, kai jo diskriminantas yra neigiamas? Tikiuosi bent kiek suprantamai parašiau.

0

Aišku.
Kaip tik dabar peržvelgiau kitą uždavinio dalį, kurioj pasirodo [tex]-x^2[/tex].

Dėkui.

0

Kažkaip tik dabar užmačiau šią temą. Karolis parašė kas būna vienu ar kitu atveju, bet neparašė konkrečiai kaip šios išvados prieinamos. Na bent jau aš nežadu dėtis į galvą šių taisyklių.
Turbūt suprantama, jog kvadratines nelygybes geriausia spręsti grafiškai. Tenka dažnai matyti klaidą, jog išsprendę lygtį [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] ir gavę, jog ji neturi sprendinių daugelis be jokių abejonių rašo, kad ir pati nelygybė neturi sprendinių, bet juk išsprendę lygtį mes tik patikrinome, ar kvadratinės funkcijos grafikas kerta x ašį, taigi gaudami D<0, mes tik galime teigti, kad grafikas neturi bendrų taškų su Ox ašimi, o toliau tiesiog reikia žiūrėti į a reikšmę.
Jei a<0, vadinasi parabolės šakos eina žemyn ir vienintelis galimas atvejis, jog ji nekirstų Ox ašies yra tada, kai ji visa yra po Ox ašimi, taigi nelygybės <0 sprendiniai yra visi realieji skaičiai, o >0 sprendinių neturi išvis.
Jei a>0, vadinasi parabolės šakos eina viršun ir vienintelis galimas atvejis, jog ji nekirstų Ox ašies yra tada, kai ji visa virš Ox ašies, taigi nelygybės >0 sprendiniai yra visi realieji skaičiai, o <0 sprendinių neturi išvis.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-20

0

Tačiau tavo toks niekinimas gali suponuoti, kad tos taisyklės kažkuo blogos
Pačios taisyklės negali būti blogos, jei jos teisingos, aklas jų naudojimas be jokio suvokimo yra blogas.

0

Tai ar atsakei žmogui į klausimą, kurį jis buvo uždavęs temos pradžioje?

Tačiau man pasidarė įdomu, kuo pagrįstas šio metodo veikimo principas?

0

Vis dėlto lengviau kitam diagnozuoti mistinės širšės įgėlimą (kad ir perkeltine prasme), negu pripažinus neatsakius žmogui į klausimą. Kelti pykčių nėra mano tikslas, mano tiklas bus pasiektas, jei kažkokiu būdu hugegoofus grįš prie šios temos ir perskaitys manąjį komentarą.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-20

0

Tomo aiškinimas tinka tik tuo atveju, jeigu mokinys žino, kaip funkcijos grafikas siejasi su kvadratiniu trinariu $ax^2+bx+c$. Kitam koeficiento $a$ buvimas teigiamu ar neigiamu visiškai nesisieja su grafiko atšakų ėjimu aukštyn ar žemyn. Ką reikėtų nuveikti, kad tai taptų daugiau nei taisykle moksleiviams man išties nelengvas klausimas, dėl kurio aš kol kas nenorėčiau leistis į parabolių taisyklių struktūravimą.

Tomo aiškinimas apie lygties ir nelygybės painiojimą išduoda, kad problema gali būti visai kitur. Neišsiaiškinę lengvesnės dalies, kas yra bendro ir skirtingo tarp lygties ir nelygybės, moksleiviai negalės pilnai suvokti, kaip du lyginami reiškiniai persikelia į jų grafikų eskizus. Pvz. trinario $ax^2+bx+c$ savybė būti palygintam su 0 (daugiau, mažiau, lygu) turi ją atitinkantį ekvivalentą mentalinėje struktūroje, kurioje reiškiniai yra pakeičiami į jų grafikus. Šiuo atveju ta ekvivalenti savybė būtų vieno reiškinio grafiko aukščio lyginimas su kitu (ar vienas grafikas yra aukščiau, žemiau, ar kerta kitą grafiką tam tikroje reikšmių srityje). Panašius perėjimus į ekvivalenčias mentalines struktūras galima surasti ir kasdieninėje kalboje, pvz. jeigu oras šyla, tai oro temperatūra didėja. Klausimas būtų, kiek moksleivis yra imlus atlikti tokius perėjimus į ekvivalentus kitose mentalinėse struktūrose.

Vienas iš pavyzdžių, išduodančių minėtos problemos rimtumą, yra moksleivių gebėjimas susieti dviejų sąvokų junginius. Pvz. pasitaiko tikrai nemažai moksleivių, kurie paklausti, kam lygus dviejų duotų skaičių sumos kvadratas, savarankiškai į šį klausimą atsakyti nesugebės. Tai rodo, kad problema yra jau nebe matematinio, o kognityvinio pobūdžio. Ir ką dėl to turėtume kaltinti?

Skaitant komentarus man taip ir neliko aišku, kiek šios temos autorius įkerta apie tai, kaip reiškinių lyginimas veikia grafine prasme. Galiu tik pasiūlyti kitą interpretaciją, kuri nesusijusi su grafikais:

Kvadratinės lygties $ax^2+bx+c=0$ sprendiniai yra užrašomi forma $\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$. Moksleiviui gali būti įprasta, jog su $x$ reikšmėmis, kurios lygios šiems sprendiniams, reiškinys $ax^2+bx+c$ keičia ženklą. Jei $ax^2+bx+c>0$ arba $ax^2+bx+c<0$ su visomis $x$ reikšmėmis, tai reikšmių, kuriose keičiamas ženklas nebus. Vadinasi nebus ir sprendinių. Tai įmanoma tada ir tik tada, kai $D$ yra neigiamas. Ši samprata būtų prieinama tiems moksleiviams, kurie turi aukštesnio lygio nusimanymą reiškinių, lygybių, nelygybių ir jų sprendinių sąvokose. Negana to, aš atradau, kad jos idėjos yra intervalų metodo loginis pagrindas.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-10-21

0

Aš tai jau tingėjau Tomui rodyt jo klaidas
Kokias klaidas, jei būtų galima sukonkretinti? mathfux kaip visada daug prirašė apie tai kaip mąsto vieni ar kiti, bet taip ir pats neišsakė nuomonės, kuris mano ar Karolio paaiškinkimas turėjo duoti daugiau naudos žmogui suvokimo prasme. Įžvelgiau kritiką mano aiškinimo, bet ji rėmėsi tik spėjimu, jog klausiantysis gali neturėti pakankamų gebėjimų jį suprasti.
Tuo tarpu Karolis kažkodėl užgautas pagrįstos kritikos pradeda svaidytis įvairiausiais epitetais, čia prijungdamas (kaip ir nėra keista) Sokolovą. Mes dar su Sokolovu nesame susiginčyję, tu jau spėjai su abiem. Bet aišku ir čia visgi lengviau įtarti kažkokio mėnulio vaikų sindromą, nei negebėjimą priimti tau skirtos kritikos. O mathfux nieko nekomentavo apie Karolio paaiškinimą, nes irgi sakykim bijo to paties? Na suprantu, gal ir protingas žingsnis, bet aš draugų taip pat čia ne ieškoti atėjau.

Ir pabaigai:
Tomo aiškinimas tinka tik tuo atveju, jeigu mokinys žino, kaip funkcijos grafikas siejasi su kvadratiniu trinariu
10-tokai būtent tokiu būdu ir mokosi spręsti kvadratines nelygybes.

0

Karoli, elgiesi kaip mažas vaikas. Ar bent pameni kiek kartų šį pasiūlymą esi pateikęs tiek man tiek kitiems... Komentuosiu, ką aš norėsiu. O policija galėsi gąsdinti savo vaikus, kai jie kuo nusikals...

0

kas yra bendro ir skirtingo tarp lygties ir nelygybės

Na, manau, jog man akivaizdžiausia dalis būtų tai, jog lygtis turi konkretų sprendinį(-ius), o, tuo tarpu, nelygybė - intervalą(-us). Galbūt dar įeina kokie nors niuansai - nežinau, kadangi neteko daugiau gilintis nei kiek paviršutiniškai yra mokoma mokykloje.

Nežinau į ką čia fokusuotis, nes matau daug bereikalingų ginčų, bet pabandžiau atsižvelgt į pirmąjį Tomo komentarą. Šiuos teiginius žinojau, tik buvau kiek primiršęs. Pabandžiau viską apibendrint. Ar tai ką nors pasakys apie mano turimas žinias - neturiu idėjos. Jei kas galit - peržvelkit.

• Kai [tex]D > 0[/tex], tai lygties [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] grafikas turi du bendrus taškus (tarkim, [tex]A[/tex] ir [tex]B[/tex]) su [tex]OX[/tex] ašimi, ir kai:
      • [tex]a > 0[/tex], tai:
            • parabolė yra po [tex]OX[/tex] ašimi ir jos šakos eina į viršų;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; A) \cup (B; +\infty)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; A] \cup [B; +\infty)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex], tai [tex]x \in (A; B)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x \in [A; B][/tex].
      • [tex]a < 0[/tex], tai:
            • parabolė yra virš [tex]OX[/tex] ašies ir jos šakos eina į apačią;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex], tai [tex]x \in (A; B)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x \in [A; B][/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; A) \cup (B; +\infty)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; A] \cup [B; +\infty)[/tex].

• Kai [tex]D = 0[/tex], tai lygties [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] grafikas turi vieną bendrą tašką su [tex]OX[/tex] ašimi, ir kai:
      • [tex]a > 0[/tex], tai:
            • parabolė yra ant [tex]OX[/tex] ašies ir jos šakos eina į viršų;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x \in \mathbb{R}[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex], tai [tex]x = \varnothing[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x = 0[/tex].
      • [tex]a < 0[/tex], tai:
            • parabolė yra ant [tex]OX[/tex] ašies ir jos šakos eina į apačią;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex], tai [tex]x = \varnothing[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x = 0[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex], tai [tex]x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

• Kai [tex]D < 0[/tex], tai lygties [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] grafikas neturi bendrų taškų su [tex]OX[/tex] ašimi, ir kai:
      • [tex]a > 0[/tex], tai:
            • parabolė yra virš [tex]OX[/tex] ašies ir jos šakos eina į viršų;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex] arba [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x \in \mathbb{R}[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex] arba [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x = \varnothing[/tex].
      • [tex]a < 0[/tex], tai:
            • parabolė yra žemiau [tex]OX[/tex] ašies ir jos šakos eina į apačią;
            • kai [tex]ax^2 + bx + c > 0[/tex] arba [tex]ax^2 + bx + c \geqslant 0[/tex], tai [tex]x = \varnothing[/tex];
            • kai [tex]ax^2 + bx + c < 0[/tex] arba [tex]ax^2 + bx + c \leqslant 0[/tex], tai [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

0

Šioje temoje naujų žinučių rašymas yra išjungtas!