2f(5)+3f(2013/5)=25 ir 2f(2013/5)+3f(5)=2013 Praleisiu nuobodų sistemos sprendimą ir parašysiu, kad wolframas sako, jog f(5)=5989/5, tikiuosi nesupyksite :D .
Jei teisingai padariau, tai kita užduotis tegul būna tokia: Seka [tex]a_1+a_2+...[/tex] yra geometrinė progresija ir [tex]a_1=b[/tex], progresijos vardiklis lygus q. b ir q natūralieji skaičiai. Duota: [tex]\log _8 a_1 + \log _8 a_2 + ... + \log _8 a_{12} = 2006[/tex] . Rasti kiek yra porų (b,q) tenkinančių sąlygas.
pakeista prieš 13 m
DEMO +1000
Valdas3, galbūt pats uždavinį sukūrei?
valdas3 (+1276)
Ne, radau internete. Bet čia vertimas, tai galbūt blogai ką nors išverčiau. Va ir pastebėjau vieną klaidelę, paredaguosiu užduotį :)
DEMO +1000
valdas3 Seka [tex]a_1+a_2+...[/tex] yra geometrinė progresija ir [tex]a_1=b[/tex], progresijos vardiklis lygus q. b ir q natūralieji skaičiai. Duota: [tex]\log _8 a_1 + \log _8 a_2 + ... + \log _8 a_{12} = 2006[/tex] . Rasti kiek yra porų (b,q) tenkinančių sąlygas.
[tex]\log _8{a_1} + \log _8{a_2} + \log_8{a_3}+\ldots+ \log _8{a_{12}}=\log_8{b}+\log_8{bq}+\log_8{bq^2}+\ldots+\log_8{bq^{11}}=[/tex] [tex]\log_8{b^{12}q^{66}}=2006\Rightarrow b^{12}q^{66}=8^{2006}=2^{6018}[/tex]. Iš geometrinės progresijos apibrėžimo [tex]q\neq1[/tex]. Jei [tex]b=1[/tex], tai [tex]q^{66}=2^{6018}[/tex], tačiau tokiu atveju [tex]q[/tex] nėra naūralus. Dabar jau aišku, kad [tex]b=2^m[/tex] ir [tex]q=2^n[/tex] ([tex]m, n\in\mathbb{N}[/tex]). Tada [tex]2^{12n+66m}=2^{6018}\Rightarrow 2n+11m=1003[/tex]. Iškart galim pastebėt atskirą diofantinės lygties sprendinį [tex](n; m)=(1;91)[/tex]. Tada bendrasis diofantinės lygties sprendinys (formulių neįrodinėsiu) yra [tex]n=1+11t[/tex] ir [tex]m=91-2t[/tex] ([tex]t\in\mathbb{Z}[/tex]). Tačiau [tex]\begin{cases}1+11t>0\\91-2t>0\end{cases}\Rightarrow 0\leq t\leq 45[/tex]. Iš čia gaunam, kad yra [tex]46[/tex] parametro [tex]t[/tex] reikšmės, su kuriomis [tex]m[/tex] ir [tex]n[/tex] yra natūralieji, reiškia egzistuoja [tex]46[/tex] poros [tex](b; q)[/tex]. Ar gerai?
valdas3 (+1276)
Taip, atsakymas teisingas :)
DEMO +1000
Įrodykite, kad visiems teigiamiems [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] galioja nelygybė [tex]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq x+y+z[/tex].
DEMO +1000
Nebus idėjų?
VaLDaSS (+931)
Arba nebus :D matosi, kad simetrinė nelygybė ir, kad ji teisinga bus, kai x=y=z , tingiu bemąstyti :D
pakeista prieš 13 m
DEMO +1000
Pagal aritmetinio - geomerinio vidurkių nelygybę gaunam [tex]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}\geq2\sqrt{\frac{x^3}{yz}\cdot\frac{y^3}{xz}}=2\frac{xy}{z}[/tex] [tex]\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq2\frac{zy}{x}[/tex] [tex]\frac{x^3}{yz}+\frac{z^3}{xy}\geq2\frac{xz}{y}[/tex] Sudėję šias tris nelygybes ir padalinę iš 2 gaunam nelygybę [tex]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}[/tex]. Toliau pagal aritmetinio - geometrinio vidurkio nelygybę gaunam [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y[/tex] [tex]\frac{zy}{x}+\frac{xz}{y}\geq 2z[/tex] [tex]\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\geq 2x[/tex] Sudėję šias tris nelygybes ir padalinę iš 2 gaunam nelygybę [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq x+y+z[/tex]. Taigi [tex]\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq x+y+z[/tex].