Matematikos Maratonas Nr. 2

Išspręskite paprasčiausią lygčių sistemą :D :
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y=t+z & \\ x^{2}+y^{2}=t^{2}+z^{2}+2& \\ x^{3}+y^{3}=t^{3}+z^{3}+9& \\ x^{4}+y^{4}=t^{4}+z^{4}+29 \end{matrix}\right.[/tex]

Uždavinys tikrai nėra sunkus, tik susipainioti greitai galima :D

Pirmą lygtį pakelkim kvadratu, atimkim iš jos antrą ir padalykim iš dviejų. Gausim [tex]xy=tz-1[/tex].
Tada pagal trečią lygtį
[tex]t^3+z^3+9=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(t+z)(t^2+z^2+3-tz)=t^3+z^3+3(t+z)\Rightarrow t+z=3[/tex]
Prie ketvirtos lygties pridėję [tex]x^2y^2=t^2z^2-2tz+1[/tex] gaunam [tex]t^4+z^4+30+t^2z^2-2tz=x^4+y^4+x^2y^2=(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)=(t^2+z^2-tz+3)(t^2+z^2+tz+1)=[/tex][tex]3+4 t^2+t^4+2 t z+4 z^2+t^2 z^2+z^4\Rightarrow t^2+tz+z^2=\frac{27}{4}[/tex]. Šią gautą lygtį atėmę iš [tex]t^2+2tz+z^2=9[/tex], gaunam, kad [tex]tz=\frac{9}{2}[/tex].
Iš sistemos [tex]\begin{cases}t+z=3\\tz=\frac{9}{4}\end{cases}[/tex] gaunam, kad [tex]t=z=\frac{3}{2}[/tex].
Toliau iš sistemos [tex]\begin{cases}x+y=3\\xy=\frac{5}{4}\end{cases}[/tex] gaunam, kad [tex](x;y)\in\{(\frac{1}{2};\frac{5}{2});(\frac{5}{2};\frac{1}{2})\}[/tex].
Taigi, pradinės lygčių sistemos sprendiniai [tex](x; y; t; z)\in\{(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; \frac{3}{2};\frac{3}{2}); (\frac{5}{2};\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})\}[/tex].

Variable, Falcon, kodėl jūs niekad čia nepasireiškiat?!
Šįkart, lengvesnis, neolimpiadinis uždavinys (galbūt jis pritrauks naujų maratono dalyvių):
Apskaičiuokite sumą [tex]S=\cos{\frac{2\pi}{7}}+\cos{\frac{4\pi}{7}}+\cos{\frac{6\pi}{7}}[/tex].

Lukai, na tiesiog visą dėmesį kaip ir skyriu VBE, kartais užsuku pažiūrėt užduočių, tačiau didžioji dalis jų yra ne mano lygio. Kad sugalvot sprendimą reiktų valandas skirti, o kadangi rajoninėj olimpiadoje rezultatas buvo „graudokas" tai pernelyg ir nesuku sau galvos ir ruošiuos tik pagal VBE programą. :)

lukasmVariable, Falcon, kodėl jūs niekad čia nepasireiškiat?!
Šįkart, lengvesnis, neolimpiadinis uždavinys (galbūt jis pritrauks naujų maratono dalyvių):
Apskaičiuokite sumą [tex]S=\cos{\frac{2\pi}{7}}+\cos{\frac{4\pi}{7}}+\cos{\frac{6\pi}{7}}[/tex].

Teisingai ;) Įkelk naują uždavinį.

lukasmVariable, Falcon, kodėl jūs niekad čia nepasireiškiat?!

Galiausiai vistiek atsiboda spręsti tuos paprastus uždavinius :D iki kokios 11 klasės per dieną po 20 per 30min išspręsdavau, dabar net nebesinori žiūrėt į tuos uždavinius :D geriau dabar per dieną kelis sunkius įveikiu  :D

Nenori niekas uždavinio įdėti?