Matematikos Maratonas Nr. 2

Sveikeji skaiciai [tex]a,b,c[/tex] tenkina salyga [tex]a + b + c = bc[/tex]. Reikia irodyti kad skaicius [tex](a+b)(a+c)[/tex] dalinasi is 4

Išsprendžiau :D

Nu tai rasyk sprendima :D.

a+c=bc-b=b(c-1)
a+b=bc-c=c(b-1)
(a+b)(a+c)=(b-1)b(c-1)c
Ir ką pastebime?
Ogi tai, jog (b-1) ir b bei (c-1) ir c iš eilės einantys sveikieji skaičiai.
Taigi du skaičiai tikrai bus lyginiai ir jų sandauga dalysis iš 4.
Arba kažkuris bus 0 ir sandauga bus lygi 0.

Gali imest nauja uzdavini :D

Dabar sunkesnį :D
Įrodykite, kad iškilojo keturkampio kraštinės a,b,c,d tenkina nelygybę
-1<(a²+b²-c²-d²)/(2(ab+cd)<1
Good luck  ;]

Sprendimas mano manymu butu toks:
[tex]a^2+b^2-2ab\cos\alpha=c^2+d^2-2cd\cos\beta[/tex]
[tex]a^2+b^2-c^2-d^2=2ab\cos\alpha-2cd\cos\beta[/tex]
[tex]\max{(2ab\cos\alpha-2cd\cos\beta)}=2(ab+cd)[/tex]
[tex]\min{(2ab\cos\alpha-2cd\cos\beta)}=-2(ab+cd)[/tex]
t.y.
[tex]-2(ab+cd)<=a^2+b^2-c^2-d^2<=2(ab+cd)[/tex]
dalinam visa nelygybe is [tex]2(ab+cd)[/tex]
[tex]-1<=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}<=1[/tex]
Lygybe negalima, nes tai geometrine figura.
[tex]-1<\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}<1[/tex] :)

Na teisingai, reikšmė nebus lygi 1 ir -1, nes 0 ir 180 laipsnių netinka, kadangi iškilasis keturkampis.

Aš kiek kitaip sprendžiau.
Išsiskaidžiau į dvi nelygybes
a²+b²-c²-d²<2ab+2cd
a²-2ab+b²-(c²+2cd+d²)<0
(a-b)²-(c+d)²<0
(a-b+c+d)(a-b-c-d)<0
Vienas dauginamasis teigiamas,kitas neigiamas, sandauga - neigiama.
-2ab-2cd<a²+b²-c²-d²
(a+b)²-(c-d)²>0
(a+b+c-d)(a+b-c+d)>0
Abu dauginamieji teigiami, todėl sandauga didesnė už 0 t.y. teigiama.

As irodziau butinuma, o tu pakankamuma, nes pasinaudojai duota nelygybe :)