Matematikos Maratonas Nr. 2

[tex]1+11=12[/tex]
[tex]2+7=9[/tex]
[tex]3+5=8[/tex]
[tex]4+6=10[/tex]
Galima, nes suskirsciau :D

Puikus sprendimas :D
Kai parašiau, taip ir panamiau, kad taip nutiks  sprendimu :D

Asidesiu viena toki idomu :D
Raskite bent viena toki skaiciu: ABC, kad
[tex]ABC=(A+B+C)\times A\times  B \times C[/tex]

Čia A, B ir C skaitmenys ar skaičiai?

ABC - skaicius, A,B,C skaitmenys :)

144 ;]

[tex]100A+10B+C=A^2BC+AB^2C+ABC^2[/tex]
[tex](A^2BC-A)+(AB^2C-B)+(ABC^2-C)=99A-9B[/tex]
[tex](A^2BC-A)+(AB^2C-B)+(ABC^2-C)=9(11A-B)[/tex]
Toliau nebesprendžiau, nes to ir neprašė, tik patikrinau triženklius skaičius, kurie yra 9 kartotiniai. ;]

Viskas gerai ;)

Sekos [tex](a_n)[/tex] nariai kiekvienu [tex]n\geq 1[/tex] tenkina lygybę
[tex]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n=n^{2}[/tex][tex](a_1=1)[/tex]
Raskite:
a)[tex]b_n=a_1+a_3+a_5+a_9+...+a_{2^{n}+1}[/tex]
b)[tex]\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{b_n}{n}[/tex]

[tex]a_1=1\\a_2=4\\1\cdot4\cdot a_3=9\Rightarrow a_3=\frac{9}{4}\\1\cdot4\cdot\frac{9}{4}\cdot a_4=16\Rightarrow a_4=\frac{16}{9}[/tex]
[tex]\ldots \\ 1\cdot 4\cdot \frac{9}{4}\cdot\frac{16}{9}\cdot\ldots\cdot(\frac{n-1}{n-2})^2\cdot a_n=n^2\Rightarrow[/tex][tex]a_n=(\frac{n}{n-1})^2\text{  }\text(n>1)[/tex]
Tuomet [tex]a_{2^n+1}=\frac{2^{2n}+2\cdot2^n+1}{2^{2n}}=1+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{2n}}[/tex].
Pritaikę geometrinės progresijos narių sumos formulę gaunam
[tex]b_n=\sum_{i=1}^{n}a_{2^i+1}=n+1+2\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^n}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{4^n}=n+1+2(1-\frac{1}{2^n})+\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot4^n}=n-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{3\cdot4^n}+\frac{10}{3}[/tex]
Tada [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{b_n}{n}=1-\lim_{x\rightarrow \infty}(\frac{1}{n\cdot2^{n-1}}+\frac{1}{3n\cdot4^n}-\frac{10}{3n})=1[/tex].