Mirtise (+3503)
Forumas
Matematikos Maratonas Nr. 2
DEMO +1000
[tex]7^{39}=343^{13}\equiv15^{13} (\bmod41)\\15\equiv15(\bmod 41)\\15^4\equiv31(\bmod41)\\15^8\equiv18(\bmod41)\\15^{13}=15\cdot15^4\cdot15^8\equiv15\cdot31\cdot18\equiv6(\bmod 41)[/tex].
Mirtise (+3503)
šauniai :)
DEMO +1000
Kiek teigiamų daliklių turi skaičius [tex]6n[/tex], jeigu skaičius [tex]2n[/tex] turi [tex]28[/tex] teigiamus daliklius, o skaičius [tex]3n[/tex] jų turi [tex]30[/tex]?
DEMO +1000
Galbūt vertėtų sutarti laiko tarpą, kuriam praėjus uždavinį įkėlęs žmogus parašo sprendimą, jei per tą laiką neatsirado išsprendusių?
Mirtise (+3503)
siūlau savaitę.
DEMO +1000
Neatrodo, kad savaitė - per ilgas laikas?
Vitalijus (+1945)
Atnaujinau taisykles.
Papildomas punktas:
Jeigu praėjus trims dienoms uždavinio niekas neišsprendžia, tai jo autorius pats pateikia sprendimą.
DEMO +1000
lukasmKiek teigiamų daliklių turi skaičius [tex]6n[/tex], jeigu skaičius [tex]2n[/tex] turi [tex]28[/tex] teigiamus daliklius, o skaičius [tex]3n[/tex] jų turi [tex]30[/tex]?
Niekas taip ir neišsprendė, todėl įkeliu sprendimą.
Tegul skaičiaus [tex]n[/tex] kanoninis skaidinys [tex]n=2^{\alpha_1}\cdot3^{\alpha_2}\cdot p_3^{\alpha_3}\cdot \ldots\cdot p_k^{\alpha_k}[/tex] (čia [tex]p_i\in\mathbb{N}[/tex] ir [tex]\alpha_i\in\mathbb{N}\cup\{0\}[/tex]). Tada skaičiaus [tex]2n[/tex] teigiamų daliklių skaičius [tex](\alpha_1+2)(\alpha_2+1)(\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=28[/tex] ir skaičiaus [tex]3n[/tex] teigiamų daliklių skaičius [tex](\alpha_1+1)(\alpha_2+2)(\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=30[/tex]. Atėmę pirmą lygybę iš antros gaunam [tex](\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=2[/tex]. Aišku, kad sandauga [tex](\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)[/tex] yra teigiama, todėl iš čia išplaukia du atvejai:
1) [tex]\alpha_1-\alpha_2=1[/tex]
Tokiu atveju [tex](\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=2[/tex] ir [tex]14=(\alpha_1+2)(\alpha_2+1)=(\alpha_1+2)\alpha_1[/tex] Ši kvadratinė lygtis sveikų sprendinių neturi, todėl šis atvejis netinkamas;
2) [tex]\alpha_1-\alpha_2=2[/tex]
Tokiu atveju [tex](\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=1[/tex] ir [tex]28=(\alpha_1+2)(\alpha_2+1)=(\alpha_1+2)(\alpha_1-1)\Rightarrow \alpha_1^2+\alpha_1-30=0[/tex].
[tex]\alpha_1=5[/tex] (tinka tik neneigiamas sprendinys).
Tada [tex]\alpha_2=3[/tex] ir skaičiaus [tex]6n[/tex] daliklių skaičius yra [tex](\alpha_1+2)(\alpha_2+2)(\alpha_3+1)(\alpha_4+1)\ldots(\alpha_k+1)=35[/tex].
Uždavinys tikrai nesunkus (jis yra iš 1999 metų 9-10 klasių ,,Kengūros"), nesinori jo net olimpiadiniu vadinti.
Palyginus su pirmuoju maratonu, šitas kol kas vos vos juda. Kame problema: ar uždaviniai per sunkūs, ar niekam neįdomu spręsti?
pakeista prieš 13 m
Vitalijus (+1945)
lukasmPalyginus su pirmuoju maratonu, šitas kol kas vos vos juda. Kame problema: ar uždaviniai per sunkūs, ar niekam neįdomu spręsti?
Kalbant apie matematikos maratoną nr.1, tai daugėlis jame dalyvavusių žmonių šiuo metu yra labai užsiėmę. Nemažai jų užsienyje, užsikrovę mokslais arba darbais...
Kalbant apie šį maratoną, tai jaučiamas akivaizdus olimpiadininkų stygius. Na nesinori man čia dabar imt ir spręst tuos uždavinius, aš labiau rūpinuosi sistemos veikla, kad jūs visi turėtumėte puikiai veikiančią internetinę mokslo erdvę...
Tad reikia daugiau matematikos entuziastų. Dėja, bet tokių žmonių mažėja... O kaip prisivilioti dar tuo besidominančius? Galbūt vertėtų pareklamuoti tinklapį savo draugams ar klasiokams. Galbūt olimpiadų metu susipažįstate su naujais žmonėmis, juos taip pat galite čia pasikviesti.
Šioje temoje naujų pranešimų rašymas yra išjungtas!