Matematikos Maratonas Nr. 2

Kas kitą uždavinį?

VaLDaSSKas kitą uždavinį?

Dar vienas uždavinys su dalumu tada :D
Raskite mažiausią sveikąjį skaičių turintį 75 daliklius ir besidalijantį iš 75.

VaLDaSSDar vienas uždavinys su dalumu tada :D
Raskite mažiausią sveikąjį skaičių turintį 75 daliklius ir besidalijantį iš 75.

Algelis24

VaLDaSSDar vienas uždavinys su dalumu tada :D
Raskite mažiausią sveikąjį skaičių turintį 75 daliklius ir besidalijantį iš 75.

As daryciau sitaip:
Pasirasyciau kelis skaiciaus [tex]75[/tex] kartotinius, ir suskaiciuosiau kiek jie turi dalikliu:
[tex]75\cdot 1[/tex] - [tex]6[/tex] dalikliai;
[tex]75\cdot 2[/tex] - [tex]13[/tex] dalikliu;
[tex]75\cdot 3[/tex] - [tex]9[/tex] dalikliai;
[tex]75\cdot 4[/tex] - [tex]16[/tex] dalikliu;
[tex]\ldots[/tex]
Gaunu dvi dalikliu sekas, kai daugiklis prie [tex]75[/tex] yra [tex]2n[/tex]: [tex]a_n=13+3(n-1),\,n=1,2,\ldots[/tex]
Kai daugiklis prie [tex]75[/tex] yra [tex]2m-1[/tex]: [tex]a_m=6+3(m-1),\,m=1,2,\ldots[/tex]
Sprendziu dvi lygtis:
[tex]a_n=75[/tex]
[tex]n=\frac{65}{3}[/tex], netinka, nes sekos numeris turi buti sveikasis skaicius.
[tex]a_m=75[/tex]
[tex]m=24[/tex]
Tuomet, kad skaicius turetu 75 daliklius ir dalintusi pats is saves, jis bus lygus:
[tex]75\cdot(2m-1)=75\cdot 47=3525[/tex] :)

lukasm

Algelis24

VaLDaSSDar vienas uždavinys su dalumu tada :D
Raskite mažiausią sveikąjį skaičių turintį 75 daliklius ir besidalijantį iš 75.

As daryciau sitaip:
Pasirasyciau kelis skaiciaus [tex]75[/tex] kartotinius, ir suskaiciuosiau kiek jie turi dalikliu:
[tex]75\cdot 1[/tex] - [tex]6[/tex] dalikliai;
[tex]75\cdot 2[/tex] - [tex]13[/tex] dalikliu;
[tex]75\cdot 3[/tex] - [tex]9[/tex] dalikliai;
[tex]75\cdot 4[/tex] - [tex]16[/tex] dalikliu;
[tex]\ldots[/tex]
Gaunu dvi dalikliu sekas, kai daugiklis prie [tex]75[/tex] yra [tex]2n[/tex]: [tex]a_n=13+3(n-1),\,n=1,2,\ldots[/tex]
Kai daugiklis prie [tex]75[/tex] yra [tex]2m-1[/tex]: [tex]a_m=6+3(m-1),\,m=1,2,\ldots[/tex]
Sprendziu dvi lygtis:
[tex]a_n=75[/tex]
[tex]n=\frac{65}{3}[/tex], netinka, nes sekos numeris turi buti sveikasis skaicius.
[tex]a_m=75[/tex]
[tex]m=24[/tex]
Tuomet, kad skaicius turetu 75 daliklius ir dalintusi pats is saves, jis bus lygus:
[tex]75\cdot(2m-1)=75\cdot 47=3525[/tex] :)

Neteisingai!

Tavo prielaida, kad skaičių [tex]75\cdot1[/tex], [tex] 75\cdot2[/tex], [tex]75\cdot3[/tex], [tex]\ldots[/tex] daliklių skaičiai atitinkamai sudaro aritmetinę progresiją, yra klaidinga.
Be to, [tex]75\cdot1 [/tex] turi [tex]6[/tex] daliklius, [tex]75\cdot2[/tex] turi [tex]12[/tex] daliklių, [tex]75\cdot3[/tex] turi [tex]9[/tex] daliklius,  [tex]75\cdot4[/tex] turi [tex]18[/tex] daliklių, [tex]75\cdot5[/tex] turi [tex]8[/tex] daliklius.
Daliklių skaičių galima apskaičiuot taip:
jei skaičiaus n skaidinys pirminiais dauginamaisiais yra [tex]n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}[/tex], tai skaičius [tex]n[/tex] turi [tex]\phi(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots(\alpha_k+1)[/tex] teigiamų daliklių.
Pabandyk dabar pats išspręsti, norisi, kad be Valdo, Mirtisės ir manęs dar kas nors čia pasireikštų.
Tikras atsakymas didesnis nei tavo.

Kiek lukai olimpiadoje taškų surinkai? :D

Nežinau tiksliai kiek taškų. Kelias žioplas klaidas padariau lengviausiuose uždaviniuose. Bet į respublikinę patekau. Pats važiuosi į respublikinę?

Atrodo, kad patekau