Matematikos Maratonas Nr. 2

Penkių plokštumos taškų koordinatės yra sveikieji skaičiai. Įrodykite, kad iš jų galima parinkti du taškus, kuriuos jungiančios atkarpos vidurio taško koordinatės būtų taip pat sveikieji skaičiai.

Kažkaip lėtai čia tie sprendimai vyksta :D

Žinoma, kad turiu idėją, bet gal kas ir kitas išspręs :D

Nu tai ką, pamėginti reikia man :D
Taigi turime 5 taškus: [tex]A(x_1;y_1)[/tex] , [tex]B(x_2;y_2)[/tex] , [tex]C(x_3;y_3)[/tex] , [tex]D(x_4;y_4)[/tex] , [tex]E(x_5;y_5)[/tex].
Tarp [tex]x[/tex] reikšmių visada atsiras bent trys lyginės sveikosios reikšmės, ARBA bent trys nelyginės sveikosios reikšmės.
1)Tarkime, kad yra bent trys lyginės [tex]x[/tex] reikšmės: [tex]x_1[/tex] , [tex]x_2[/tex] , [tex]x_3[/tex].Jeigu tarp šių koordinačių pažymėsime vidurio tašką, tai ta [tex]x_0[/tex] reikšmė bus sveikasis skaičius, nes atstumas tarp kažkurių koordinačių [tex]x_1[/tex] , [tex]x_2[/tex] ir [tex]x_3[/tex](tai lyginiai sveikieji skaičiai) yra [tex]2|n|[/tex], [tex]|n|\epsilon N[/tex], tai ir [tex]x_0\epsilon Z[/tex].
Toliau imame reikšmes [tex]y_1[/tex] , [tex]y_2[/tex] , [tex]y_3[/tex]. Tarp jų atsiras bent dvi lyginės sveikosios reikšmės, ARBA bent dvi nelyginės sveikosios reikšmės.
2)Tarkime, kad yra bent dvi lyginės [tex]y[/tex] reikšmės : [tex]y_1[/tex] , [tex]y_2[/tex]. Jeigu tap šių koordinačių pažymėsime vidurio tašką, tai ta [tex]y_0[/tex] reikšmė bus sveikasis skaičius,  nes atstumas tarp koordinačių [tex]y_1[/tex] ir [tex]y_2[/tex] (tai lyginiai sveikieji skaičiai) yra [tex]2|n|[/tex], [tex]|n|\epsilon N[/tex], tai ir [tex]y_0\epsilon Z[/tex].
Įrodėme, kad [tex]x_0\epsilon Z[/tex] ir [tex]y_0\epsilon Z[/tex], tai ir taškas [tex]F(x_0;y_0)\epsilon Z[/tex], kuris yra atkarpos (kaip pasirinkau įrodyti) AB vidurio taškas.
Dar aišku yra variantai, kai yra bent trys nelyginės sveikosios [tex]x[/tex] reikšmės ir bent dvi nelyginės sveikosios [tex]y[/tex] reikšmės, bet įrodyti analogiškai reikia ir taip išsiplėčiau :D gal ir ne visur tiksliai ,,įrodžiau" , bet esmė tokia :D

VaLDaSSNu tai ką, pamėginti reikia man :D
Taigi turime 5 taškus: [tex]A(x_1;y_1)[/tex] , [tex]B(x_2;y_2)[/tex] , [tex]C(x_3;y_3)[/tex] , [tex]D(x_4;y_4)[/tex] , [tex]E(x_5;y_5)[/tex].
Tarp [tex]x[/tex] reikšmių visada atsiras bent trys lyginės sveikosios reikšmės, ARBA bent trys nelyginės sveikosios reikšmės.
1)Tarkime, kad yra bent trys lyginės [tex]x[/tex] reikšmės: [tex]x_1[/tex] , [tex]x_2[/tex] , [tex]x_3[/tex].Jeigu tarp šių koordinačių pažymėsime vidurio tašką, tai ta [tex]x_0[/tex] reikšmė bus sveikasis skaičius, nes atstumas tarp kažkurių koordinačių [tex]x_1[/tex] , [tex]x_2[/tex] ir [tex]x_3[/tex](tai lyginiai sveikieji skaičiai) yra [tex]2|n|[/tex], [tex]|n|epsilon N[/tex], tai ir [tex]x_0epsilon Z[/tex].
Toliau imame reikšmes [tex]y_1[/tex] , [tex]y_2[/tex] , [tex]y_3[/tex]. Tarp jų atsiras bent dvi lyginės sveikosios reikšmės, ARBA bent dvi nelyginės sveikosios reikšmės.
2)Tarkime, kad yra bent dvi lyginės [tex]y[/tex] reikšmės : [tex]y_1[/tex] , [tex]y_2[/tex]. Jeigu tap šių koordinačių pažymėsime vidurio tašką, tai ta [tex]y_0[/tex] reikšmė bus sveikasis skaičius,  nes atstumas tarp koordinačių [tex]y_1[/tex] ir [tex]y_2[/tex] (tai lyginiai sveikieji skaičiai) yra [tex]2|n|[/tex], [tex]|n|epsilon N[/tex], tai ir [tex]y_0epsilon Z[/tex].
Įrodėme, kad [tex]x_0epsilon Z[/tex] ir [tex]y_0epsilon Z[/tex], tai ir taškas [tex]F(x_0;y_0)epsilon Z[/tex], kuris yra atkarpos (kaip pasirinkau įrodyti) AB vidurio taškas.
Dar aišku yra variantai, kai yra bent trys nelyginės sveikosios [tex]x[/tex] reikšmės ir bent dvi nelyginės sveikosios [tex]y[/tex] reikšmės, bet įrodyti analogiškai reikia ir taip išsiplėčiau :D gal ir ne visur tiksliai ,,įrodžiau" , bet esmė tokia :D

Taip ir maniau, kad reikia kažkaip su tom pirmom kordinatėm ,,sužaisti" , patingėjau pagalvoti :D

Gal kas kitas kokį uždavinį parašys :D Milkhater, sakei turi :D

Tai jei neišspręs niekas per 3 dienas, tai idėsi sprendimą :D

Pats gal šitą sugalvojai? :D

čia pasitariau ir nusprendžiau, kad galima dėti kitą uždavinį. nes nei uždavinio autorius sprendimo nežino, nei čia kažkoks gražus rezultatas gausis :)