Matematikos Maratonas Nr. 2

Tai dėk Mirtiše :D

aš tai nedėsiu ;D

Raskite minimalią reiškinio [tex]A=5a^{2}+6b^{2}+5c^{2}+2ac-4a+4c[/tex] reikšmę, kai [tex]a,b,c[/tex] - realieji skaičiai.

VaLDaSSRaskite minimalią reiškinio [tex]A=5a^{2}+6b^{2}+5c^{2}+2ac-4a+4c[/tex] reikšmę, kai [tex]a,b,c[/tex] - realieji skaičiai.

Nežinau pavadinimo, tikriausiai, kad ta, pats neseniai sprendžiau, tai ir idėjau :D

Trys koordinates gaunasi? :)

Tada skaiciavimo pradzia parasysiu:
[tex]\left\{x^2+y^2=2\\
x^3+y^3=2
\right\,[/tex]
Lygciu sistema skaiciuojam keitimo budu. Issireiskiam is pirmos lygties [tex]y[/tex]:
[tex]y=\pm\sqrt{2-x^2}[/tex]
Tuomet:
[tex]x^3+{\left(\pm\sqrt{2-x^2}\right)}^3=2[/tex]
Pertvarkom:
[tex]{\left(\pm\sqrt{2-x^2}\right)}^3=2-x^3[/tex]
Abi lygties puses kliam kvadratu:
[tex]{\big[{\left(\pm\sqrt{2-x^2}\right)}^3\big]}^2={\big[2-x^3\big]}^2[/tex]
[tex]{\left(2-x^2\right)}^3={\left(2-x^3\right)}^2[/tex]
[tex]8-12x^2+6x^4-x^6=4-4x^3+x^6[/tex]
[tex]4-12x^2+6x^4+4x^3-2x^6=0[/tex]
Dalinam is [tex]-2[/tex]:
[tex]6x^2-3x^4-2x^3+x^6-2=0[/tex]
[tex]\underbrace{x^6-2x^3+1}_{{(x^3-1)}^2}-3\underbrace{(x^4-2x^2+1)}_{(x^2-1)^2}=0[/tex]
[tex]\underbrace{(x^3-1)^2}_{((x-1)(x^2+x+1))^2}-\underbrace{(\sqrt3(x^2-1))^2}_{(\sqrt3(x-1)(x+1))^2}=0[/tex]
[tex]((x-1)(x^2+x+1))^2-(\sqrt3(x-1)(x+1))^2=0[/tex]
[tex]\bigg((x-1)(x^2+x+1)-\sqrt3(x-1)(x+1)\bigg)\bigg((x-1)(x^2+x+1)+\sqrt3(x-1)(x+1)\bigg)=0[/tex]
Toliau pirmas narys lygus [tex]0[/tex] arba antras.
[tex]\cdots[/tex]

Isspreskite lygti:
[tex]\sin{x}=x[/tex]

[tex]sin x = x[/tex]
[tex] f( x)= sinx,[/tex] [tex] g( x  )=x[/tex]
[tex]f(x)=sinx\Rightarrow x=(-1)^{k}arcsinx+\pi k[/tex]
[tex]x\epsilon \left [ -1; 1 ],[/tex] ,nes [tex]E_{f}\epsilon \left [ -1;  1 ][/tex].
Todėl [tex] k=0[/tex], nes su kitomis reikšmėmis [tex]g(x)> 1[/tex] arba [tex]g(x)<- 1[/tex].
[tex]x=(-1)^{k}arcsinx+\pi k\Rightarrow x=arcsinx,[/tex]    [tex]x\epsilon \left [ -1; 1 ][/tex].
Su šita lygybe, manau, yra tik vienas sprendinys :D [tex]x=0[/tex]

tai čia jau užskaitytas ar ne? :D