Matematikos Maratonas Nr. 3

Turime n vienodų daiktų ir 2n+1 skirtingų daiktų. Įrodykite, kad iš tų 3n+1 daiktų pasirinkti n daiktų yra [tex]2^{2n}[/tex] būdų.

Tarkime imame n  iš vienodų ir 0  iš skirtingų, tai padaryti yra [tex]1\cdot C_{2n+1}^{0}[/tex] galimybė.
Tarkime imame n-1 iš vienodų ir 1 iš skirtingų, tai padaryti yra [tex]1\cdot C_{2n+1}^{1}[/tex] galimybė.
Tarkime imame n-2 iš vienodų ir 2 iš skirtingų, tai padaryti yra [tex]1\cdot C_{2n+1}^{2}[/tex] galimybė.
...
Tarkime imame 0 iš vienodų ir n iš skirtingų, tai padaryti yra [tex]C_{2n+1}^{n}[/tex] galimybė.
Vadinasi 3n+1 daiktų pasirinkti iš n daiktų yra būdų:
[tex]C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{n}[/tex]
Dabar mums reikia įrodyti, jog ši suma lygi [tex]2^{2n}[/tex]:
Žinome, jog su visais [tex]n∈N[/tex] teisinga tokia lygybė:
[tex]C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^n[/tex]
Taigi teisinga ir tokia lygybė:
[tex]C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{2n+1}[/tex]
[tex]C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{n})+(C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+C_{2n+1}^{n+3}+...+C_{2n+1}^{2n+1})[/tex]
Įrodykime, jog skliausteliuose esančios sumos yra lygios:
Pasinaudokime kita lygybe, kuri teisinga su visomis [tex]n,k∈N,k≤n[/tex] reikšmėmis:
[tex]C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}[/tex]
Taip gauname, kad: [tex]C_{2n+1}^{n+1}=C_{2n+1}^{n}[/tex],  [tex]C_{2n+1}^{n+2}=C_{2n+1}^{n-1}[/tex],  [tex]C_{2n+1}^{n+3}=C_{2n+1}^{n-2}[/tex],  [tex]...[/tex],  [tex]C_{2n+1}^{2n+1}=C_{2n+1}^{0}[/tex]
Vadinasi abi sumos sudarytos iš vienodų dėmenų, taigi ir jų reikšmės lygios, tada užrašome, kad:
[tex]C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=2(C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{n})=2^{2n+1}[/tex]
Padaliję visą lygybę iš 2 gauname, kad:
[tex]C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+...+C_{2n+1}^{n}=2^{2n}[/tex]
Įrodėme!

Šaunu

Duotas smailusis lygiašonis trikampis ABC (AC=BC), iš viršūnių A ir B nubrėžtos pusiaukraštinės. Tarkime pusiaukraštinės sudaro kampą [tex]\alpha[/tex] (čia [tex]\alpha<90^o)[/tex]. Kam lygu [tex]cos∠C[/tex]?

Įsiveskitme trys papildomus taškus: [tex]O[/tex] - pusiaukraštinių susikirtimo taškas, [tex]D[/tex] - pusiakraštinės, išvestos iš viršūnės [tex]A[/tex], taškas kraštinėje [tex]BC[/tex], [tex]E[/tex] - pusiakraštinės, išvestos iš viršūnės [tex]B[/tex], taškas kraštinėje [tex]AC[/tex].
Įsiveskime bazinius vektorius: [tex]\vec{OD}[/tex] ir [tex]\vec{OE}[/tex].
Raskime bazinių vektorių skaliarinę sandaugą: [tex]\vec{OD}*\vec{OE}=|\vec{OD}||\vec{OE}|\cos{\alpha}[/tex]. Pasinaudodami prielaida, turime [tex]\vec{OD}*\vec{OE}=|\vec{OE}|^2\cos{\alpha}[/tex].
Išreikškime [tex]\vec{CA}[/tex] ir [tex]\vec{CB}[/tex] per bazinius vektorius:
1) [tex]2\vec{OE}=\vec{BO}[/tex]
2) [tex]\vec{BC}=2(\vec{BO}+\vec{OD})=2(2\vec{OE}+\vec{OD})[/tex]
3) [tex]\vec{CB}=-2(2\vec{OE}+\vec{OD})[/tex]
Prasuke analogišką algoritmą vektoriui [tex]\vec{CA}[/tex] turime [tex]\vec{CA}=-2(2\vec{OD}+\vec{OE})[/tex].
Raskime vektoriaus [tex]\vec{CA}[/tex] ilgio kvadratą: [tex]|\vec{CA}|^2=4|2\vec{OD}+\vec{OE}|^2=4(4|\vec{OD}|^2+|\vec{OE}|^2-2|2\vec{OD}||\vec{OE}|\cos({180^o-\alpha}))=4(5|\vec{OE}|^2+4|\vec{OE}|^2\cos{\alpha})[/tex].
Raskime vektorių [tex]\vec{CA}[/tex] ir [tex]\vec{CB}[/tex] skaliarinę sandaugą: [tex]\vec{CA}*\vec{CB}=4(2\vec{OD}+\vec{OE})*(2\vec{OE}+\vec{OD})=4(2|\vec{OD}|^2+5(\vec{OD}*\vec{OE})+2|\vec{OE}|^2)=4(4|\vec{OE}|^2+5|\vec{OE}|^2\cos{\alpha})[/tex]
Iš kitos pusės: [tex]\vec{CA}*\vec{CB}=|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos(∠C)=|\vec{CA}|^2\cos(∠C)=4(5|\vec{OE}|^2+4|\vec{OE}|^2\cos{\alpha})\cos(∠C)[/tex]. Taigi, iš lygybės [tex]4(4|\vec{OE}|^2+5|\vec{OE}|^2\cos{\alpha})=4(5|\vec{OE}|^2+4|\vec{OE}|^2\cos{\alpha})\cos(∠C)[/tex], gauname [tex]\cos(∠C)=\frac{4+5\cos{\alpha}}{5+4\cos{\alpha}}[/tex].

Teisingai :)

Raskite visas natūraliasias n reikšmes, su kuriomis [tex]7|2^n-n[/tex].

Uždavinio sprendimas
Panagrinėkime, kokias liekanas duoda [tex]2^n[/tex] dalinamas iš 7:
[tex]2≡2\mod7[/tex]
[tex]2^2≡4\mod7[/tex]
[tex]2^3≡1\mod7[/tex]
Matome, kad 2 eilė moduliu 7 yra 3. Todėl:
[tex]2^{3k+1}≡2\mod7[/tex]
[tex]2^{3t+2}≡4\mod7[/tex]
[tex]2^{3m}≡1\mod7[/tex]
[tex]k,t,m \in Z^*[/tex],  [tex]Z^*[/tex] - neneigiamų, sveikųjų skaičių aibė.
Toliau nagrinkime lyginį [tex]2^n≡n\mod7[/tex]. Kai:
1) [tex]n=3k+1[/tex], turime [tex]3k+1≡2 \mod7 \Rightarrow 3k≡1 \mod7 \Rightarrow 3k≡15 \mod7[/tex] . Kadangi [tex]DBD(7,3)=1[/tex], tai [tex]k≡5 \mod7 \Rightarrow k=7w+5 \Rightarrow n=21w+16[/tex].
2) [tex]n=3t+2[/tex], turime [tex]3t+2≡4 \mod7 \Rightarrow 3t≡2 \mod7 \Rightarrow 3t≡9 \mod7 \Rightarrow t≡3\mod7 \Rightarrow t=7v+3 \Rightarrow n=21v+11[/tex]
3) [tex]n=3m[/tex], turime [tex]3m≡1 \mod7 \Rightarrow 3m≡15 \mod7 \Rightarrow t≡5 \mod7  \Rightarrow m=7q+5 \Rightarrow n=21q+15[/tex]
Taigi, [tex]7|2^n-n[/tex], jei n yra pavidalo  [tex]21w+16[/tex]  arba  [tex]21v+11[/tex]  arba  [tex]21q+15[/tex], [tex]∀w,v,q∈Z^*[/tex].

Parodykite, kad daugianaris  [tex]p(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}[/tex]  neturi kartotinių šaknų.

Tarkime [tex]x=k[/tex] yra daugianario [tex]p(x)[/tex] kartotinė šaknis,
tada [tex]p(k)=0[/tex], bei [tex]p(x)=(x-k)^{m}\cdot a(x)[/tex],    [tex]2≤m≤n[/tex].
Randame daugianario išvestinę: [tex]p'(x)=m(x-k)^{m-1}\cdot a(x)+(x-k)^{m}\cdot a'(x)[/tex]
Kai [tex]x=k[/tex], tai:
[tex]p'(k)=m(k-k)^{m-1}\cdot a(k)+(k-k)^{m}\cdot a'(k)=0+0=0[/tex]
Vadinasi jei [tex]x=k[/tex] yra daugianario [tex]p(x)[/tex] kartotinė šaknis, tai [tex]p'(k)=0[/tex].
Mūsų atveju:
Tarkime [tex]x=k[/tex] daugianario [tex]p(x)[/tex] kartotinė šaknis, tada:
[tex]p'(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}[/tex]
Vadinasi turi būti teisingos lygybės:
[tex]p(k)=1+\frac{k}{1!}+\frac{k^2}{2!}+...+\frac{k^{n}}{n!}=0[/tex]
[tex]p'(k)=1+\frac{k}{1!}+\frac{k^2}{2!}+...+\frac{k^{n-1}}{(n-1)!}=0[/tex]
Iš šių dviejų lygybių gauname, kad:
[tex]p(k)-p'(k)=\frac{k^{n}}{n!}=0[/tex]
Gauname, jog vienintelė [tex]k[/tex] reikšmė, kuri tenkina lygybę yra [tex]k=0[/tex]
Tačiau akivaizdžiai matome, jog [tex]p(0)=p'(0)=1≠0[/tex], vadinasi [tex]x=0[/tex] nėra kartotinė šaknis ir aplamai jokia kita kartotinė šaknis neegzistuoja.