Matematikos Maratonas Nr. 3

Teisingai !!!

Raskite visas natūralias [tex]n[/tex] reikšmes, su kuriomis lygtis [tex]2x+3y=n[/tex] turi daugiau sveikųjų neneigiamų sprendinių [tex](x,y)[/tex] nei lygtis [tex]2x+3y=n+1[/tex].

Nagrinėkime lygties [tex]2x+3y=n[/tex] du atvejus: kai [tex]n[/tex] lyginis ir kai [tex]n[/tex] nelyginis.
Tarkime [tex]n=2k, \;\;k∈N[/tex]. Tada pradinė lygtis įgauną pavidalą [tex]2x+3y=2k[/tex]. Akivaizdu, kad [tex]y[/tex] irgi yra lyginis. Pasižymėkim [tex]y=2m,\;\;m∈Z^*[/tex]. Tai mums duoda naują lygties pavidalą  [tex]2x+6m=2k[/tex]. Padalinę abi lygybės puses iš [tex]2[/tex] ir lygtyje išsireiškę [tex]x[/tex], turime [tex]x=k-3m[/tex]. Kadangi [tex]k[/tex] fiksuotas, o [tex]x[/tex] neneigiamas, tai [tex]k≥3m[/tex], kur [tex]m∈\big\{0,1,...,m_0-1,m_0\big\},\;\; m_0 [/tex] - didžiausia galima [tex]m[/tex] reiškmė. Taigi, turime [tex]k≥3m_0 \Rightarrow \frac{k}{3}≥m_0[/tex]. Kita vertus, kadangi [tex]m_0[/tex] yra didžiasia galima [tex]m[/tex] reiškmė, tai [tex]m_0+1>\frac{k}{3}[/tex]. Apjungę nelygybes, turime [tex]m_0=[\frac{k}{3}][/tex]. Kadangi [tex]∀m[/tex] atinka vienintelį [tex]x[/tex], o [tex]∀x[/tex] atitinka vienitelį [tex]m[/tex], tai lygtis [tex]x=k-3m[/tex] turės sprendinių tiek, kiek [tex]m[/tex] gali įgyti reikšmių t.y. [tex][\frac{k}{3}]+1[/tex]. Sugrįžę prie lygties [tex]2x+3y=n[/tex], sprendinių skaičių užrašome [tex][\frac{n}{6}]+1[/tex], kur [tex]n≡0\mod2[/tex].
Prasukę analogišką algoritmą, kai [tex]n=2k-1[/tex], sprendinių skaičių gausime [tex][\frac{n-3}{6}]+1[/tex].
Toliau pereiname prie lygties [tex]2x+3y=n+1[/tex]. Pasinaudoję išsivestomis sprendinių skaičiaus formulėmis, turime, kad pastaroji lygtis turi [tex][\frac{n-2}{6}]+1[/tex] sprendinių, kai n lyginis, ir [tex][\frac{n+1}{6}]+1[/tex] sprendinių, kai n nelyginis.
Beliko išspręsti dvi nelygybes:
1) [tex][\frac{n}{6}]+1>[\frac{n-2}{6}]+1[/tex]
2) [tex][\frac{n-3}{6}]+1>[\frac{n+1}{6}]+1[/tex]
Akivaizdu, kad antroji nelybybe neturės sprendinių, nes mažesnio skaičiaus sveikoji dalis tikrai neviršis didesnio skaičiaus sveikosios dalies.
Pirmąją nelygybę patikrine atvejais, kai [tex]n=6d,\;6d+2,\; 6d+4[/tex], [tex]d∈N[/tex], matome, kad tinka tik [tex]n=6d, ∀d∈N[/tex].

Atsakymas teisingas :)

Įrodykite, kad [tex]∀n∈N[/tex], [tex]DBD(n^7-n^3+1,30)=1[/tex].

[tex]n^7-n^3=n^3(n^4-1)=n^3(n^2-1)(n^2+1)=n^3(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=n^3(n-1)(n+1)((n-2)(n+2)+5)=n^3(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n^3(n-1)(n+1)[/tex]

[tex](n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/tex] dalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N, n>2[/tex], nes sandauga sudaryta iš 5 vienas po kito einančių natūraliųjų skaičių. Kai [tex]n=1[/tex] arba [tex]n=2[/tex] sandauga lygi 0, taigi ji taip pat dalijasi iš 2, 3 ir 5.

Vadinasi ir [tex]n^3(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)[/tex] dalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex]

[tex]5(n-1)n(n+1)[/tex] dalijasi iš 2 ir 3 [tex]\forall n∈N, n>1[/tex] nes sandaugoje yra 3 vienas po kito einantys natūralieji skaičiai. Ir taip dalijasi iš 5, nes sandaugoje yra dauginamasis 5. Kai [tex]n=1[/tex] sandauga lygi 0, taigi ji taip pat dalijasi iš 2,3 ir 5.

Vadinasi ir [tex]5n^3(n-1)(n+1)[/tex] dalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex]

Kadangi abu sumos dėmenys dalijasi iš 2,3 ir 5, tai ir pati suma dalijasi iš šių skaičių. Taigi gauname, jog: [tex]n^3(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n^3(n-1)(n+1)=n^7-n^3[/tex] dalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex]

Jei [tex]n^7-n^3[/tex] dalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex], vadinasi  [tex]n^7-n^3+1[/tex] nesidalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex]

Išskaidę pirminiais dauginamaisiais gauname: [tex]30=2\cdot 3\cdot 5[/tex]
Kadangi [tex]n^7-n^3+1[/tex] nesidalijasi iš 2,3 ir 5 [tex]\forall n∈N[/tex], tai skaičiai [tex]n^7-n^3+1[/tex] ir [tex]30[/tex] neturi bendrų pirminių dauginamųjų. Tokių skaičių [tex]DBD=1[/tex]. Įrodyta!

Teisingai :)

Kiek natūralių sprendinių, didesnių už 1, turi lygtis:  [tex]x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5=2016[/tex]  ?

Norėčiau pasitikslint, turima omeny natūralių sprendinių?

Paredagavau užduotį.