Matematikos Maratonas Nr. 3

Pabandysiu :) Beje, kas norit, galite kelti savo uzdavini.

Jei AA', BB', CC' yra trikampio ABC pusiaukampinės, tai [tex]AB'*BC'*CA'=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]. Įrodykite.

a?b?c?

Turime, kad: [tex]BC=a[/tex], [tex]AC=b[/tex],  [tex]AB=c[/tex]
Pagal pusiaukampinės savybę:  Trikampio pusiaukampinė dalija prieš tą kampą esančią kraštinę į atkarpas, proporcingas tą kampą sudarančioms kraštinėms
Turime, kad:
[tex]\dfrac{AB'}{B'C}=\dfrac{c}{a}\implies \dfrac{AB'}{b}=\dfrac{c}{a+c}\implies AB'=\dfrac{bc}{a+c}[/tex]

[tex]\dfrac{BC'}{C'A}=\dfrac{a}{b}\implies \dfrac{BC'}{c}=\dfrac{a}{a+b}\implies BC'=\dfrac{ac}{a+b}[/tex]

[tex]\dfrac{CA'}{A'B}=\dfrac{b}{c}\implies \dfrac{CA'}{a}=\dfrac{b}{b+c}\implies CA'=\dfrac{ab}{b+c}[/tex]
Galiausiai:
[tex]AB'\cdot BC'\cdot CA'=\dfrac{bc}{a+c}\cdot \dfrac{ac}{a+b}\cdot \dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex]

Gerai.
lelius: tiesiog iš knygutės nurašiau sąlygą :)

Įrodykite, jog tiesių, kuriose yra trapecijos šoninės kraštinės, susikirtimo taškas, trapecijos įstrižainių susikirtimo taškas ir trapecijos pagrindų vidurio taškai yra vienoje tiesėje.

Brėžinys:


Iš sąlygos suprantu, kad reikia įrodyti, jog SL kerta taškus K ir O. Taip?

Nuleidžiame ΔASD pusiaukraštinę SL iš taško  S į pagrindą AD, kad AL = LD.
Taip pat su ΔBSC: nuleidžiame pusiaukraštinę SK iš tašo S į pagrindą BC, kad BK = KC.

∠S - bendras tarp ΔASD ir ΔBSC.
∠SBK = ∠SAD (atitinkamieji kampai, nes BC || AD).
Vadinasi, ΔASD ~ ΔBSC, o SK ir KL vienoje tiesėje.Tai K∈SL

Dabar reikia įrodyti, kad MO = ON ( arba SO yra ΔMSN pusiaukraštinė).

h - trapecijos ABCD aukštinė.
[tex]S_{ΔABC} = \frac{1}{2}*BC*h [/tex]
Toks pats plotas bus ir [tex]S_{ΔBCD}[/tex], nes aukštinė - [tex]h[/tex]- ir pagrindas - [tex]BC[/tex] - bendri.

[tex]S_{ΔBCD} - S_{ΔBCO} = S_{ΔABC} - S_{ΔBCO}[/tex].
Taigi [tex]S_{ΔABO} = S_{CDO}[/tex] => [tex]\frac{1}{2} * MO * h = \frac{1}{2} * ON * h[/tex]
Vadinasi, tikrai, kad MO = ON.
ΔMSN ~ ΔASD, tai O∈SL

Taigi tiesės taškai K, O, L, S priklauso tiesei SL.

Kaip ir viskas gerai, tik pataisyčiau taško priklausymo tiesei žymėjimą. Nes pagal tavo užrašą tiesė priklauso taškui, o ne taškas tiesei.

Pataisysiu

Gali kelti savo užduotį :)