Matematikos Maratonas Nr. 3

Pataisiau. Laimei neturėjo tai didelės įtakos uždaviniui ( tai yra neteko iš esmės taisyti). Įdomu, jog gavosi gražūs atsakymai ir kitu atveju :)

Na gal profesonalams uždavinys nebus labai sunkus, tačiau bus proga pasireikšti ir kitiems:
Trikampis [tex]ABC[/tex] - lygiašonis ([tex]AB=BC[/tex]), [tex]∠ABC=120^o[/tex], [tex]CM[/tex] - kampo [tex]C[/tex] pusiaukampinė, [tex]AM = 14\space cm[/tex]. Apskaičiuokite atstumą nuo taško [tex]M[/tex] iki kraštinės [tex]BC[/tex].

Brėžinys:


Nuo taško M iki kraštinės BC atstumas bus iš taško M išvesta aukštinė į kraštinę BC taške D, tai MD⊥BC, o [tex]∠MDC = 90^o[/tex].[tex]∠MBD = 180^o - 120^o = 60^o[/tex]; [tex]∠DMB = 30^o[/tex].

ΔAMC naudojame sinuso teoremą, kad rastume pusiaukampinės MC ilgį:
[tex]\frac{MC}{sin30^o} = \frac{MA}{sin15^o}[/tex]  = > [tex]2MC = \frac{14}{sin15^o}[/tex] = > [tex]MC = \frac{7}{sin15^o}[/tex]

Dabar ΔMBC naudojame sinuso teoremą:
[tex]\frac{MC}{sin120^o} = \frac{MB}{sin15^o}[/tex] = > [tex]\frac{\frac{14}{sin15^o}}{\sqrt{3}} = \frac{MB}{sin15^o}[/tex] = > [tex]MB = \frac{14\sqrt3}{3}[/tex]

ΔDBM - statusis trikampis, kurio vienas kampas lygus 30 laipsnių, tai žinome, kad būtent prieš šį kampą statinis bus lygus pusei įžambinės: [tex]DB = \frac{7\sqrt3}{3}[/tex].
Naudojame pitagorą:
[tex]DM^2 = MB^2 - DB^2 = \frac{588}{9} - \frac{147}{9} = \frac{441}{9} = 49[/tex];
[tex]DM = +- 7[/tex] (-7 netinka),
tai atsakymas DM = 7 cm.

Viskas gerai, gali kelti savo užduotį.
Tik galėjai dar sutrumpinti sprendimą, kai radai MB tiesiog galėjai pritaikyti kampo kosinusą (sinusą).

Pasitreniravimui.
Iš stačiakampio, kurio kraštinės a ir b, viršūnių išvestos pusiaukampinės, kurios susikirsdamos viena su kita sudaro keturkampį. Apskaičiuokite gauto keturkampio plotą. a ≠ b.

Laikome, kad: [tex]b>a[/tex]. Tuomet nesunku įsitikinti, jog iš kampų A, B, C, D nubrėžtos pusiaukampinės kertasi stačiu kampu. Tai reiškia, jog ABEF ir GCDH-kvadratai, kurių kraštinės ilgis lygus [tex]a[/tex]. Remdamiesi kryžminių kampų lygumu įsitikiname, jog trikampiai ELG ir FHN yra statūs ir lygiašoniai. Taigi keturkampis KLMN yra stačiakampis. Be to trikampiai ELG ir FHN yra lygūs pagal kraštinę (kurios ilgis [tex]b-a[/tex]) ir du kampus prie jos. Vadinasi šis stačiakampis yra kvadratas.
Tuo tarpu LN||AB, nes LN eina per priešingų stačiakampių kraštinių vidurio taškus.
[tex]LN=KM=\dfrac{b}{2}-a+a+\dfrac{b}{2}-a=b-a[/tex]
Tada:
[tex]S_{KLMN}=\dfrac{1}{2}LN^2=\dfrac{1}{2}(b-a)^2[/tex]

Teisingai. Gali kelti savo užduotį. :)

Trikampio [tex]ABC[/tex] plotas lygus [tex]S[/tex]. Taškas [tex]M[/tex] pažymėtas kraštinėje [tex]BC[/tex] taip, kad: [tex]BM:MC=3:2[/tex]. Tiesė, einanti per taškus [tex]A[/tex] ir [tex]M[/tex], kerta pusiaukraštinę [tex]BD[/tex] taške [tex]F[/tex]. Raskite trikampio [tex]BFA[/tex] plotą.

Uždavinio sprendimas:

Žinome, kad: [tex]AD=CD[/tex] ir [tex]\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{3}{2}[/tex]
Raskime kokiu santykiu taškas [tex]F[/tex] dalija atkarpą [tex]BD[/tex].
Pažymime vektorius: [tex]\vec{BA}=\vec{a}[/tex],  [tex]\vec{BC}=\vec{b}[/tex]
Tuomet gauname: [tex]\vec{BD}=\dfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})[/tex],  [tex]\vec{BM}=\dfrac{3}{5}\vec{b}[/tex],  [tex]\vec{MC}=\dfrac{2}{5}\vec{b}[/tex].
Galime užrašyti, kad: [tex]\vec{AM}=-\vec{a}+\dfrac{3}{5}\vec{b}[/tex]
Kadangi vektoriai [tex]\vec{AF}[/tex] ir [tex]\vec{AM}[/tex] kolinearūs, tai egzistuoja toks skaičius [tex]0<m<1[/tex], jog:
[tex]\vec{AF}=m\vec{AM}[/tex], tada:
[tex]\vec{AF}=m(\dfrac{3}{5}\vec{b}-\vec{a})[/tex]
Vadinasi:
[tex]\vec{BF}=\vec{a}+m(\dfrac{3}{5}\vec{b}-\vec{a})=(1-m)\vec{a}+\dfrac{3}{5}m\vec{b}[/tex]
Vektoriai [tex]\vec{BD}[/tex] ir [tex]\vec{BF}[/tex] kolinearūs, vadinasi egzistuoja, toks skaičius [tex]0<n<1[/tex], jog:
[tex]\vec{BF}=n\vec{BD}[/tex]
[tex](1-m)\vec{a}+\dfrac{3}{5}m\vec{b}=\dfrac{1}{2}n(\vec{a}+\vec{b})[/tex]
[tex](1-m)\vec{a}+\dfrac{3}{5}m\vec{b}=\dfrac{1}{2}n\vec{a}+\dfrac{1}{2}n\vec{b}[/tex]
Gauname, kad: [tex]\begin{cases} 1-m=\dfrac{1}{2}n \\ \dfrac{3}{5}m=\dfrac{1}{2}n \end{cases}\implies 1-m=\dfrac{3}{5}m\implies \dfrac{8}{5}m=1\implies m=\dfrac{5}{8}[/tex]
Tada: [tex]n=2(1-m)=2(1-\dfrac{5}{8})=\dfrac{3}{4}[/tex]
Vadinasi [tex]\vec{BF}=\dfrac{3}{4}\vec{BD}[/tex].
Gavome, jog taškas [tex]F[/tex] dalija atkarpą [tex]BD[/tex] taip, kad: [tex]\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{3}{4}[/tex]

Kadangi [tex]BD[/tex] pusiaukraštinė, tai: [tex]S_{ΔABD}=\dfrac{1}{2}S[/tex]
Nesunku įsirodyti, jog iš trikampio viršūnės nubrėžta tiesė, kertanti prieš tą kampą esančią kraštinę, dalija duotąjį trikampį į du kitus trikampius, kurių plotų santykis lygus santykiui, kuriuo yra dalijama kertama kraštinė. T.y.
[tex]\dfrac{S_{ΔBFA}}{S_{ΔAFD}}=\dfrac{BF}{FD}[/tex]
Iš čia gauname, kad:
[tex]\dfrac{S_{ΔBFA}}{S_{ΔABD}}=\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{3}{4}\implies S_{ΔBFA}=\dfrac{3}{4}S_{ΔABD}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S[/tex]

Būtent vektoriai neretai yra nuvertinami jei taip galima išsireikšti. O jie neretai padeda išspręsti kebliai atrodančius uždavinius.