Matematikos Maratonas Nr. 3

Kol kas ne, jei kas nori gali kelti kitas.

f(x)= [tex]e^x-xe^{-x}[/tex]
f'(x)= [tex]e^x-1*e^x+e^{-x}*(-1)*(-x)[/tex] = [tex]e^x-1/e^x+x/e^x[/tex]=[tex](e^{2x}-1+x)/e^x[/tex]

f^(x)=0, kai [tex]e^{2x}-1+x=0[/tex];  [tex]e^{2x}=1-x[/tex] Nusibraižius mini grafikėlį, nesunku įsitikinti, kad funkcijos kertasi tik viename taške - (0;1)


Taigi, vienintelis kritinis taškas: x = 0. Tikriname intervalus: kai x > 0,pavyzdžiui, x = 1, tai f'(1) = [tex]e^2/e = e[/tex], kai x < 0, pavyzdžiui, x = -1, tai f'(-1) = [tex](e^{-2}-2)/e^{-1}[/tex]. f'(-1) < 0, vadinasi, funkcija didėja intervale [tex](0;+∞)[/tex]

Na jei niekas nekelia uždavinio, tai tada keliu aš:

Duotas statusis trikampis ABC, kurio statinių ilgiai yra: AB = 15 cm, AC = 8 cm. Į šį trikampį įbrėžti du besiliečiantys apskritimai. Pirmasis apskritimas trikampį ABC liečia dviejuose taškuose, kurių vienas priklauso statiniui AC, o antras įžambinei BC. Antrasis apskritimas trikampį ABC liečia taip pat dviejuose taškuose: vienas jų priklauso statiniui AB, o antras įžambinei BC. Koks antrojo apskritimo spindulio ilgis, jei pirmojo spindulio ilgis lygus 2 cm ? (Atsakymą suapvalinkite iki 0,01 cm tikslumo).

Kodėl [tex]NF=R+r[/tex]?

Patį atsakymą būčiau galėjęs užskaityti, kadangi tikrasis atsakymas suapvalinus taip pat gaunasi 2,33, tačiau kaip ir pačiam dabar aišku sprendimas netikslus.

Uždavinio sprendimas:


Taikydami Pitagoro teoremą randame: [tex]BC=17\space cm[/tex].

CE ir BD yra pusiaukampinės, kurioms priklauso atitinkamų apskritimų centrai. Taikydami pusiaukampinės savybę raskime kaip jos dalija trikampio ABC statinius:
[tex]\dfrac{AE}{15}=\dfrac{8}{8+17}\implies AE=4,8\space cm[/tex]
Kadangi [tex]O_1H⊥AC[/tex], tai trikampiai [tex]CHO_1[/tex] ir [tex]CAE[/tex] panašūs, tada:
[tex]\dfrac{CH}{2}=\dfrac{8}{4,8}\implies CH=\dfrac{10}{3}[/tex]

Panašią situaciją gauname ir su pusiaukampine [tex]BD[/tex]:
[tex]\dfrac{OD}{8}=\dfrac{15}{15+17}\implies OD=3,75\space cm[/tex]
Trikampiai [tex]BFO_2[/tex] ir [tex]BAD[/tex] panašūs, tada:
[tex]\dfrac{BF}{r}=\dfrac{15}{3,75}\implies BF=4r[/tex]
Vadinasi [tex]FG=15-4r-2=13-4r[/tex]. Tai trapecijos [tex]FO_2O_1G[/tex] aukštinė, o kartu ir stačiojo trikampio, kurio įžambinė [tex]O_1O_2[/tex] statinis.
Kito statinio ilgis:
[tex]AH-r=(8-CH)-r=(8-\dfrac{10}{3})-r=\dfrac{14}{3}-r[/tex]
[tex]O_1O_2=2+r[/tex], tada pagal Pitagoro teoremą:
[tex](13-4r)^2+(\dfrac{14}{3}-r)^2=(2+r)^2[/tex]
Pertvarkę gauname lygtį:
[tex]144r^2-1056r+1681=0[/tex], kurios sprendiniai:
[tex]r_1=\dfrac{44-\sqrt{255}}{12}≈2,33[/tex]
[tex]r_2=\dfrac{44+\sqrt{255}}{12}≈5[/tex].
Pastarasis netinka dėl to, nes tada: [tex]FG=13-4r<0[/tex] ir [tex]AH-r=\dfrac{14}{3}-r<0[/tex]
Ats.: 2,33

Pirmajame ketvirtyje į koordinačių ašis [tex]Ox[/tex] ir [tex]Oy[/tex] "atremiama" [tex]l[/tex] ilgio atkarpa. Per bendrus koordinačių ašių ir atkarpos taškus nubrėžiamas funkcijos [tex]y=kx^2+m[/tex] grafikas - parabolė. Parabolės lankas ir atkarpa apriboja plokštumoje figūrą. Koks didžiausias galimas tokios figūros plotas?

Nenagrinėjau tavo sprendimo, bet atsakymas klaidingas.

Teisingas atsakymas [tex]\dfrac{l^2}{12}[/tex]. Gali kelti užduotį.

Praėjo 3 dienos ir niekas neišsprendė, tai keliu savo uždavinį.

Duotas trikampis [tex]ABC[/tex], kuriame [tex]∠A- ∠B = 90^o[/tex]. Tegul [tex]D[/tex] yra statmens iš viršūnės [tex]C[/tex] į tiesę [tex]AB[/tex] pagrindas, o [tex]M[/tex] - atkarpos [tex]AB[/tex] vidurio taškas. Įrodykite, kad atkarpos [tex]MD[/tex] ilgis lygus apie trikampį [tex]ABC[/tex] apibrėžto apskritimo spinduliui.