Matematikos Maratonas Nr. 3

Sprendimas:
Lygties apibrėžimo sritis: [tex]x∈\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right][/tex]. O tai reiškia, jog jei lygtis turi sprendinį, tai jis priklauso šiam intervalui.
Taikykime lygčiai trigonometrinį keitinį [tex]x=\dfrac{1}{2}\cos2\alpha, \space \alpha∈\left[0;\dfrac{π}{2}\right][/tex]. (Kampui nurodome intervalą siekdami, jog kiekvieną [tex]x[/tex] atitiktų vienintelis [tex]\alpha[/tex]).
Kadangi, kai  [tex]\alpha∈\left[0;\dfrac{π}{2}\right]:
\space -1≤\cos2\alpha≤1\iff -\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}\cos2\alpha≤\frac{1}{2}[/tex], tai šiuo keitiniu nepakeičiame lygties apibrėžtimo srities.
Vadinasi mūsų lygtį galime perrašyti taip:
[tex]\sqrt{1-2\cdot \frac{1}{2}\cos2\alpha}\left(1-4\cdot\frac{1}{2}\cos2\alpha\sqrt{1+2\cdot \frac{1}{2}\cos2\alpha} \right)=2\cdot (2\cdot \frac{1}{2}\cos2\alpha)^2-1[/tex]
Toliau ją pertvarkome laikydami, kad [tex]\alpha∈\left[0;\dfrac{π}{2}\right][/tex]:
[tex]\sqrt{1-\cos2\alpha}\left(1-2\cos2\alpha\sqrt{1+\cos2\alpha} \right)=2\cos^22\alpha-1[/tex];
[tex]\sqrt{2\sin^2\alpha}\left(1-2\cos2\alpha\sqrt{2\cos^2\alpha} \right)=\cos4\alpha[/tex];
[tex]\sqrt{2}\sin\alpha\left(1-2\sqrt{2}\cos2\alpha\cdot \cos\alpha \right)=\cos4\alpha[/tex];
[tex]\sqrt{2}\sin\alpha -4\cos2\alpha\cdot\sin\alpha \cos\alpha =\cos4\alpha[/tex];
[tex]\sqrt{2}\sin\alpha -\sin4\alpha =\cos4\alpha[/tex];
[tex]\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin4\alpha+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos4\alpha[/tex];
[tex]\sin\alpha=\sin\left(\dfrac{π}{4}+4\alpha\right)[/tex];
[tex]\sin\left(\dfrac{π}{4}+4\alpha\right)-\sin\alpha=0[/tex];
[tex]2\sin\left(\dfrac{3\alpha}{2}+\dfrac{π}{8}\right)\cos\left(\dfrac{5\alpha}{2}+\dfrac{π}{8}\right)=0[/tex];
Tada:
[tex]\sin\left(\dfrac{3\alpha}{2}+\dfrac{π}{8}\right)=0[/tex]    arba    [tex]\cos\left(\dfrac{5\alpha}{2}+\dfrac{π}{8}\right)=0[/tex]
Išsprendę kiekvieną šių lygčių ir turėdami omeny, kad [tex]\alpha∈\left[0;\dfrac{π}{2}\right][/tex], gauname, jog mums tinka tik sprendinys: [tex]\alpha=\dfrac{3π}{20}[/tex].
Vadinasi, kai [tex]\alpha=\dfrac{3π}{20}[/tex]: [tex]x=\dfrac{1}{2}\cos\left(2\cdot \dfrac{3π}{20}\right)=\dfrac{1}{2}\cos\dfrac{3π}{10}[/tex]
Ats.: [tex]\dfrac{1}{2}\cos\dfrac{3π}{10}[/tex]

Duotas plokštumos taškas [tex]A(6;8)[/tex], per kurį eina funkcijos [tex]f(x)[/tex] grafiko liestinė. Ši liestinė funkcijos [tex]f(x)[/tex] grafiką liečia taške [tex]B(0;5)[/tex]. Raskite [tex]f(6)[/tex].

[tex]f(6)[/tex] gali būti bet koks. Iš tikrųjų [tex]f(x)=\begin{cases} x^2+\frac{1}{2}x+5, &  x \leq3 \\ c, & \mbox{ kitur} \end{cases},\;\;  c \in \mathbb{R}[/tex].

Būsiu sąlygą gal ne taip nurašęs, negaliu dabar pažiūrėti. Parašyk pilną sprendimą.

Atsiprašau už netikslią (tiksliau nepilną) sąlygą, kažkokiu būdu praleidau esminę jos dalį. Nežinau, iš tiesų kaip sprendė šį uždavinį lelius, bet šis uždavinys pagal duotą sąlygą negali duoti vienareikšmiško atsakymo. Papildau sąlygą:

Duotas plokštumos taškas [tex]A(6;8)[/tex], per kurį eina viena iš funkcijos [tex]f(x)[/tex] liestinių. Ši liestinė [tex]f(x)[/tex] grafiką liečia taške [tex]B(0;5)[/tex]. Raskite [tex]f(6)[/tex], kai žinoma, jog nepriklausomai nuo to per kurį funkcijos [tex]f(x)[/tex] tašką bus nubrėžta jos liestinė ji visada kirs tiesę [tex]y=8[/tex] taške, kurio abscisės reikšmė bus pastoviu dydžiu didesnė už funkcijos ir liestinės lietimosi taško abscisės reikšmę.

Šaunu! Atsakymas geras :)

Ši funkcija apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje. Raskime, su kuriomis [tex]x[/tex] reikšmėmis, reiškinys [tex]|x|^3-(7x-6x^2)[/tex] įgyja teigiamas, negiamas ar lygią 0 reikšmes.
Pagal modulio apibrėžtį nagrinėjame du atvejus:
Kai [tex]x<0[/tex], tai: [tex]|x|^3-(7x-6x^2)=-x^3+6x^2-7x=-x(x^2-6x+7)[/tex]
Prisilyginę 0, gauname: [tex]-x(x^2-6x+7)=0\implies x=0 \space (netinka)[/tex]

Kai [tex]x∈(-\infty;0)[/tex], tai [tex]|x|^3-(7x-6x^2)>0[/tex]

Kai [tex]x∈[0;1)[/tex], tai: [tex]|x|^3-(7x-6x^2)=x(x-1)(x+7)<0[/tex]
Kai [tex]x∈[1;+\infty)[/tex], tai: [tex]|x|^3-(7x-6x^2)=x(x-1)(x+7)>0[/tex]

Raskite ribą:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(5(n-1)-2\sqrt{n^2+3n}-\sqrt{9n^2-48n}\right)\cdot n[/tex]

Sprendimas geras, tik labai įdomu reiškinio išskaidymas į sumą kuo buvo paremtas, ar tai daugiau sėkmės ar kažkokios konkrečios logikos rezultatas, nes manau būtų daugeliui įdomu sužinoti, kodėl taip ši riba buvo paskaičiuota.

Ko gero šio uždavinio visa esmė ir yra išskaidymas ribos į dvi naujas ribas, jog kiekvieną jų būtų galima paskaičiuoti, nes pats ribos paskaičiavimas turint įprastą variantą, nieko sudėtingo neturintis uždavinys. Aišku čia tas uždavinys kone identiškas, kurį buvai pateikęs prie vienos mano iš pamokų. Tąkart aš dar neturėjau didelės patirties su tokių ribų skaičiavimu, tai rėmiausi pagrinde intuicija ir sėkme, tačiau vėliau man pačiam buvo pasidarę įdomu, ar įmanoma, ką padaryti, jog nereiktų spėlioti kaip tą išskaidymą atlikti, tai vieną iš būdų radau, taigi pamaniau bus įdomu, kaip mąstysi tu.