Matematikos Maratonas Nr. 3

[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n=\left(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\right)^n=0^n=0[/tex].
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n=\left(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n=0^n=0[/tex].
[tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}+\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=0+\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=\left(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n=2^n.[/tex]

Gerai.

lelius, kaip suprantu čia ši riba yra vienoda tiek skaičiuojant ribą į [tex]+\infty[/tex], tiek į [tex]-\infty[/tex]. Tai aš savo sprendime pakoregavau šiek tiek ribą, bet turint omeny, jog jos abi lygios, tai atsakymas lieka tas pats.

Kitas uždavinys:
Išspręskite lygtį:
[tex]\arctan\dfrac{2}{1-x}-\arctan\dfrac{4}{2+x}=\arctan3[/tex]

Pataisyk formulę antroje eilutėje ir atsakymą. O taip užskaitau sprendimą.

Nekorektiškas uždavinys. Nevienareikšmis plotas.

Na va laukiau kas tai pasakys, o tai galvojau, kad kažko nesuprantu.

Manau, jog Bernulio lemniskatės (pirmoji kreivė) turėjo būti a², o ne a.
Be to, turi būt nurodyta (pavyzdžiui), kad plotas lemniskatės viduj.

Dėl tos a raidės tai aš problemos nematau (koks skirtumas tarp parametrų a² ir a, kai a>0?), nors su  a² sutinku, jog būtų geriau tik dėl išraiškos grožio polinėje koordinačių sistemoje, nes dabar tenka rašyti šaknį. Svarbiausia, jog turėtų būti nurodyta tiksliau kaip tas plotas yra ribojamas.

Man atrodo mes čia bediskutuodami puse uždavinio išsprendėme, kad ir koks jis dabar netikslus būtų.