Matematikos Maratonas Nr. 3

Jeigu pirmoji kreivė (x²+y²)²= 8a²xy.
Polinė lygtis r=2a√sin2ф.
Apskritimo lanko, kertančio lemniskatę, polinė lygtis:
r= a(cosф + sinф - √sin2ф ).
Bet po to gauname beviltišką integralą, ir rėžius (arcsin(1/8)/2 bei pi/2 - (arcsin(1/8)/2.
Tad palauksiu Karolio sprendimo...

Jei yra a kvadratu, o ne a, tai kreivės kertasi tik dviejuose taškuose. Kitaip- tai dviejuose, tai trijuose, tai keturiuose (priklausomai nuo a).

Žodžiu, Karolis per ilgai paliko savo užduotį be priežiūros, mums reikia užduotį pateikusio žmogaus komentaro.

Į nieką nepretenduoju, bet matau tik vieną kelią GELBĖTI UŽDAVINĮ...

(x²+y²)²≤ 8a²xy,    x² + y²≤ 2a².
Atsakymas:  a²(4 - 2√3 + 2pi/3).

Šiaip vien atsakymai čia nepriimami, reikalingi ir sprendimai, nebent jums jį sunku užrašyti. Bet jei į nieką nepretendavimas reiškia, jog jūs bet kuriuo atveju nekelsite kito uždavinio (t.y. nepaisant to ar Karolis patvirtins šį jūsų komentarą ar ne), tai tada nėra skirtumo.

Vis tiek tokio uždavinio (mano pateikto varianto) maratone nebuvo...

Tai čia nieko tokio jei sąlyga yra pakeičiama dėl tam tikrų suprantamų priežasčių, nes būna įsivelia klaidos, kurias nevisada spėjama pataisyti iki atsirandant kažkieno sprendimui. Man įdomiausia, kur Karolis dingo, nes paliko uždavinį be priežiūros, o mes čia su Sokolovu kankinės norėdami sužinoti atsakymus į mus kankinančius klausimus.

Pirmoji kreivė (x²+y²)²= 8a²xy.
Polinė lygtis r=2a√sin2ф.
Apskritimo lanko, kertančio lemniskatę, polinė lygtis:
r= a(cosф + sinф - √sin2ф ).
Integralo rėžiai (arcsin(1/8)/2 bei (pi/2) - (arcsin(1/8)/2.
Principas:
S=(a²/2)∫(4sin2ф) - (сosф + sinф - √sin2ф)²)dф.
Toliau daug paprasto integravimo bei mokyklinės trigonometrijos.
Sunkiausias integralas ∫(cosф + sinф)√sin2ф dф.
Šį integralą rašome kaip padvigubintą integralą nuo (arcsin(1/8)/2 iki pi/4,
po to keitiniai t=sin2ф,  z = √(t/(1-t), z=tgu.
Aišku, kiekvieną kartą atitinkamai keičiame integravimo rėžius.
Galiausiai, atsižvelgdamas ieškomam plotui gavau:
S=a²(√7/2+ (pi)/4 + (arcsin(1/8))/2 - arctg(1/√7) ).

Jeigu Sokolovas pasinaudotų funkcija įkelti formulę ir sau palengvintų gyvenimą ir mums būtų lengviau skaityti sprendimus. Tai tikrai nesudėtinga.

Aš laukiau, nes galvojau, jog tu užrašysi pilną sprendimą :D, čia baisiai daug darbo, užrašęs viską tikrai būtum kai po bėgimo maratono.